On se place dans le cadre de l'espace affine euclidien standard
pour simplifier.
Dans la suite on parlera de façon volontairement floue de sous-ensemble de dimension
de
. Par exemple un segment est de dimension un, l'intérieur d'un carré dans le plan est de dimension 2 tout comme une sphère dans
.
Une forme différentielle
de degré p sur
est un objet géométrique qui
associe à chaque sous-ensemble M de dimension p de
un nombre réel.
On dit qu'on a intégré
sur M et on note le résultat
Pour décrire plus précisemment quel type de mécanisme d'association est autorisé on s'appuie sur
l'idée qu'au voisinnage de tout point
de
on peut approcher
par une petite boîte engendrée par
vecteurs de
. Ainsi, pour
, un morceau de courbe sera approché par un petit vecteur, pour
on approche un morceau de surface par un parallélograme engendré par deux vecteurs etc.
Ponctuellement, la forme différentielle
est la donnée pour tout point
de
d'une fonction
qui à une
-boîte associe un nombre. Cette fonction peut être vue comme un unité de
-volume locale
déterminée par
. Ainsi on demande qu'une
-boîte écrasée (par exemple un
parallélograme dont tous côtés sont parallèles) soit envoyée sur 0 par
. On demande aussi
que
dépende linéairement de chaque vecteur qui défini
la boîte. Ainsi pour
on a simplement une fonction linéaire d'un vecteur et pour
, si on
multiplie la longueur d'un des deux côtés d'un parallélogramme par
alors le résultat obtenu en
appliquant
est multiplié par
, ce qui est cohérent avec l'intuition classique du calcul d'aire.
L'objet
est appelé
-forme multi-linéaire alternée sur
. Pour
on retrouve la notion de fonction de
dans
.
Pour définir
on divise M en un très grand nombre (en fait un nombre infini)
de morceaux qu'on approxime par des
-boîtes
autour de points
et on fait la somme sur
des
.
Si
est un difféomorphisme de
(c'est à dire une bijection continument différentiable et dont la réciproque est continument différentiable) et
est une p-forme différentielle alors la p-forme différentielle
est définie par
![{\displaystyle \int _{M}\phi ^{*}\alpha =\int _{\phi (M)}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041007fdd67c00463ee58256e1930e17ba929729)
Ponctuellement, on a, en notant
la différentielle de
au point
,
![{\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(u_{1},\dots ,u_{p})=\alpha _{\phi (x)}(D\phi _{x}(u_{1}),\dots ,D\phi _{x}(u_{p})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c4cd52090dd9f340e90ccbf1a2abff38ae39e8)
Soit
un sous-ensemble de dimension
dans
ayant pour bord un sous-ensemble
de
dimension
.
L'analyse vectorielle, utilisée en physique par exemple, montre qu'on peut attendre qu'une intégrale sur
s'exprime comme intégrale sur
d'un certain type de dérivée de ce qu'on a intégré sur
.
Ici, on veut pouvoir exprimer, pour toute
-forme différentielle
, l'intégrale
comme l'intégrale d'une
-forme différentielle
sur
. Montrons qu'une telle
-forme différentielle existe toujours et est unique. Elle sera notée
et appelée dérivée extérieure de
. On aura ainsi le théorème de Stokes
Il s'agit de montrer qu'en tout point
de
et pour toute
-boîte
en
on peut définir un
d'une façon compatible avec le théorème de Stokes.
C'est donc de la démarche inverse du paragraphe sur l'intégration des formes différentielles.
En effet pour intégrer une forme différentielle on part d'un sous-ensemble, on le divise en petits morceaux
et on utilise la connaisance des
pour calculer la contribution de chaque petit morceau.
Ici on connait déjà la valeur attendu de l'intégrale de
et on va remonter à
.
Pour chaque
-boîte engendrée au point
par des vecteurs
, on considére donc la
boîte
engendrée par
et on impose
.
Par définition de l'intégrale sur un tout petit domaine on a
.
On a sorti les
de
en utilisant sa multilinéarité attendue. Comparant les deux formules précédantes, on définit donc :
![{\displaystyle d\alpha _{x_{0}}(u_{1},\dots ,u_{p+1})=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon ^{p+1}}}\int _{\partial B_{\epsilon }}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce3ca0e8536c6be3c6ec56e2e7092c9bc899bbe)
Par exemple si
est de degré zéro sur l'espace de dimension un alors elle est une fonction
et, pour tout vecteur
accroché au point
le bord de la 1-boîte engendrée par
est constitué des deux points
et
orientés de façon opposés. La définition ci-dessus donne alors :
![{\displaystyle df_{x_{0}}(u)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\int _{\{x_{0}+h\}-\{x_{0}\}}f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d944962b641a925f82497b9cf888eb2a67537110)
c'est à dire :
![{\displaystyle df_{x_{0}}(u)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}(f(x_{0}+\epsilon u)-f(x_{0}))=f'(x_{0})u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96aa91679c7719424cb92cb6641ba6eac86f0001)
Les définitions précédantes montrent clairement que pour tout difféomorphisme
on a
.
Soit
un champ de vecteur sur
. Le flot de
est l'application
qui à
associe
où
est la courbe solution de
vérifiant
. Pour tout t, on note
le difféomorphisme qui à x associe
. Soit
une p-forme différentielle.
Le produit intérieur de
par
est la (p-1)-forme notée
et définie par
![{\displaystyle \int _{N}\iota _{X}\alpha =\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{N\times [0,t]}\phi ^{*}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c3f038ed84183e0e08db819a44f719174ea099)
Poncutellement, on a
donc le produit intérieur est une opération purement ponctuelle.
La dérivée de Lie
dans la direction de
est la p-forme notée
et définie par
![{\displaystyle \int _{N}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\frac {d}{dt}}\left(\int _{N}\phi _{t}^{*}\alpha \right)_{t=0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afbbbe55e1f691ddb38a05beb8eb63b4976b7b6)
Poncutellement, on a
qui dépend de
et de
dans un voisinage de
.
La dérivée de Lie, le produit intérieur et la dérivée extérieure sont liés par la formule magique de Cartan :
La démonstration de cette formule est une application directe des définitions précédantes, du théorème de Stokes et du fait que
.
Cette formule est fondamentale dans les applications des formes différentielles.