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Les espaces de Hardy sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
.
Soit
f
∈
H
o
l
(
D
)
{\displaystyle f\in Hol(\mathbb {D} )}
, on sait que
f
{\displaystyle f}
admet un développement de Taylor en 0 sur le disque unité :
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
^
(
n
)
z
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n}}
pour tout
z
{\displaystyle z}
dans
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
.
On dit alors que
f
{\displaystyle f}
est dans l'espace de Hardy
H
2
(
D
)
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )}
si la suite
(
f
^
(
n
)
)
{\displaystyle ({\hat {f}}(n))}
appartient à
ℓ
2
{\displaystyle \ell _{2}}
. Autrement dit on a :
H
2
(
D
)
=
{
f
∈
H
o
l
(
D
)
:
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
2
<
+
∞
}
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )=\lbrace f\in Hol(\mathbb {D} ):\sum _{n=0}^{+\infty }\,\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}<+\infty \rbrace }
On définit alors la norme de
f
{\displaystyle f}
par :
|
|
f
|
|
2
:=
(
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
2
)
1
2
{\displaystyle \vert \vert f\vert \vert _{2}:=(\sum _{n=0}^{+\infty }\,\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2})^{\frac {1}{2}}}
la fonction définie
z
→
L
o
g
(
1
−
z
)
=
−
∑
n
=
1
∞
z
n
n
{\displaystyle z\rightarrow Log(1-z)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}
appartient à
H
2
(
D
)
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )}
.
Pour
f
∈
H
o
l
(
D
)
{\displaystyle f\in Hol(\mathbb {D} )}
et pour
0
≤
r
<
1
{\displaystyle 0\leq r<1}
on définit :
M
2
(
f
,
r
)
:=
(
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
2
d
t
)
1
2
{\displaystyle M_{2}(f,r):={({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt)}^{\frac {1}{2}}}
la fonction
r
⟶
M
2
(
f
,
r
)
{\displaystyle r\longrightarrow M_{2}(f,r)}
est croissante sur
[
0
,
1
[
{\displaystyle [0,1[}
.
f
∈
H
2
(
D
)
{\displaystyle f\in H^{2}(\mathbb {D} )}
si et seulement si
lim
r
→
1
−
M
2
(
f
,
r
)
<
+
∞
{\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)<+\infty }}
et on a :
|
|
f
|
|
2
2
=
lim
r
→
1
−
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
2
d
t
=
sup
0
≤
r
<
1
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
2
d
t
{\displaystyle \vert \vert f\vert \vert _{2}^{2}=\lim _{r\rightarrow 1-}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt}=\sup _{0\leq r<1}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt}}
Démonstration
Posons
z
=
r
e
i
t
{\displaystyle z=re^{it}}
où
r
∈
[
0
,
1
[
{\displaystyle r\in [0,1[}
et
t
∈
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle t\in [-\pi ,\pi ]}
. On a :
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
^
(
n
)
z
n
donc
f
(
r
e
i
t
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
^
(
n
)
r
n
e
i
n
t
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}{\hbox{ donc }}f(re^{it})=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}e^{int}}
Alors par la formule de Parseval on a :
M
2
(
f
,
r
)
2
=
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
2
r
2
n
{\displaystyle M_{2}(f,r)^{2}=\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}}
Cette formule prouve la première assertion.
Si
f
∈
H
2
(
m
a
t
h
b
b
D
)
{\displaystyle f\in H^{2}(mathbb{D})}
, la formule précédente montre que
M
2
(
f
,
.
)
{\displaystyle M_{2}(f,.)}
est une fonction croissante, bornée donc
lim
r
→
1
−
M
2
(
f
,
r
)
{\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)}}
existe et d'après le théorème de convergence monotone cette limite est égale à
|
|
f
|
|
2
{\displaystyle \vert \vert f\vert \vert _{2}}
. Réciproquement si
lim
r
→
1
−
M
2
(
f
,
r
)
=
M
<
+
∞
{\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)=M<+\infty }}
, pour chaque
N
≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
, on a par croissance de
M
2
(
f
,
r
)
{\displaystyle M_{2}(f,r)}
:
∑
n
=
0
N
|
f
^
(
n
)
|
2
r
2
n
≤
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
2
r
2
n
≤
M
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq M^{2}}
En passant à la limite quand
r
{\displaystyle r}
tend vers
1
−
{\displaystyle 1^{-}}
puis quand
N
{\displaystyle N}
tend vers
+
∞
{\displaystyle +\infty }
on obtient la deuxième assertion.
L'espace de Hardy
H
2
(
D
)
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )}
est isomorphiquement isométrique (en tant qu'espace vectoriel) à
ℓ
2
{\displaystyle \ell _{2}}
. C'est donc un espace de Hilbert .
Pour tout
f
∈
H
2
(
D
)
{\displaystyle f\in H^{2}(\mathbb {D} )}
et pour tout
z
{\displaystyle z}
dans
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
on a :
|
f
(
z
)
|
≤
|
|
f
|
|
2
1
−
|
z
|
2
{\displaystyle \vert f(z)\vert \leq {\frac {\vert \vert f\vert \vert _{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}}
Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation
f
→
f
(
z
)
{\displaystyle f\rightarrow f(z)}
de
H
2
(
D
)
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )}
dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
est continue pour tout
z
{\displaystyle z}
dans
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
et sa norme est plus petite que :
1
1
−
|
z
|
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}}
En fait on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.
La topologie faible de la boule unité de
H
2
(
D
)
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )}
coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Les deux prochaines propriétés proviennent sont alors des conséquences directes de cette dernière.
Soit
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
une suite d'éléments de
H
2
(
D
)
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )}
qui converge en norme vers
f
{\displaystyle f}
alors
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
converge uniformément sur tout compact de
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
vers
f
{\displaystyle f}
.
Soit
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
une suite d'éléments de
H
2
(
D
)
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )}
incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
.
Pour
0
<
p
<
+
∞
{\displaystyle 0<p<+\infty }
on définit l'espace de Hardy
H
p
(
D
)
{\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}
comme étant l'espace des fonctions analytiques
f
{\displaystyle f}
sur le disque unité telles que :
sup
0
<
r
<
1
(
∫
0
2
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
p
d
t
2
π
)
<
+
∞
{\displaystyle \sup _{0<r<1}(\int _{0}^{2\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{p}{\frac {dt}{2\pi }})<+\infty }
On définit alors :
|
|
f
|
|
p
=
sup
0
<
r
<
1
(
∫
0
2
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
p
d
t
2
π
)
1
p
{\displaystyle \vert \vert f\vert \vert _{p}=\sup _{0<r<1}{(\int _{0}^{2\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{p}{\frac {dt}{2\pi }})}^{\frac {1}{p}}}
Pour
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
,
H
p
(
D
)
{\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}
est un espace de Banach .
Soit
f
∈
H
p
(
D
)
{\displaystyle f\in H^{p}(\mathbb {D} )}
pour
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
. Alors pour presque tout
t
{\displaystyle t}
(au sens de la mesure de Lebesgue) :
f
∗
(
e
i
t
)
:=
lim
r
→
1
−
f
r
(
e
i
t
)
{\displaystyle f^{*}(e^{it}):=\lim _{r\rightarrow 1-}f_{r}(e^{it})}
existe et l'application
f
→
f
∗
{\displaystyle f\rightarrow f^{*}}
est une isométrie de
H
p
(
D
)
{\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}
sur le sous-espace
H
∗
p
{\displaystyle H_{*}^{p}}
de
L
p
(
[
0
,
2
π
]
,
d
t
2
π
)
{\displaystyle L^{p}([0,2\pi ],{\frac {dt}{2\pi }})}
où :
H
∗
p
=
{
f
∈
L
p
(
[
0
,
2
π
]
,
d
t
2
π
)
,
f
^
(
n
)
=
0
∀
n
≤
−
1
}
{\displaystyle H_{*}^{p}=\lbrace f\in L^{p}([0,2\pi ],{\frac {dt}{2\pi }}),\,{\hat {f}}(n)=0\,\,\,\forall n\leq -1\rbrace }
On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques :Pour toute
f
∈
H
p
(
D
)
{\displaystyle f\in H^{p}(\mathbb {D} )}
, on a :
|
|
f
|
|
p
=
lim
0
<
r
<
1
(
∫
0
2
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
p
d
t
2
π
)
1
p
{\displaystyle \vert \vert f\vert \vert _{p}=\lim _{0<r<1}{(\int _{0}^{2\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{p}{\frac {dt}{2\pi }})}^{\frac {1}{p}}}
Peter L. Duren : Theory of Hp Spaces.