autre démonstration de l'existence et unicité de
dans le Théorème de projection sur un convexe fermé
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Existence et unicité de
:
Existence :
Soit
Donc
telle que
D'après l'identité du parallélogramme, on obtient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\|x_{n}+x_{m}-2x\|^{2}+\|x_{n}-x_{m}\|^{2}=2\|x_{n}-x\|^{2}+2\|x_{m}-x\|^{2}\\&\Rightarrow \|x_{n}-x_{m}\|^{2}=2\|x_{n}-x\|^{2}+2\|x_{m}-x\|^{2}-\|x_{n}+x_{m}-2x\|^{2}\\&\Rightarrow \|x_{n}-x_{m}\|^{2}=2\|x_{n}-x\|^{2}+2\|x_{m}-x\|^{2}-4\|{\frac {x_{n}+x_{m}}{2}}-x\|^{2}\\&\Rightarrow \|x_{n}-x_{m}\|^{2}\leq 2\|x_{n}-x\|^{2}+2\|x_{m}-x\|^{2}-4d^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f38d27619b3c56706ee8536bc28f1ac9e682f14)
Car
car
est un convexe.
Par passage à la limite n et m tendant vers
,
on obtient que
est de Cauchy et donc converge vers un point
car
est complet et
est fermé.
Unicité :
On montre un résultat intermédiaire :
Comme C est convexe
Donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\|x-P_{C}(x)\|^{2}\leq \|x-P_{C}(x)-\theta (y-P_{C}(x))\|^{2}\\&\Rightarrow \theta ^{2}\|y-P_{C}(x)\|^{2}-2\theta <x-P_{C}(x),y-P_{C}(x)>_{\mathcal {H}}\geq 0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb8e1417cb96a0bbd08974e37c174e0988f8882)
Donc, en divisant par
, et en passant à la limite
tendant vers 0, on obtient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}<x-P_{C}(x),y-P_{C}(x)>_{\mathcal {H}}\leq 0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e46e561e54eff81b5f1cf6aec4b9473c55596e)
Soit
vérifiant la condition
pour
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\|x-P_{C}^{1}(x)\|^{2}=\|x-P_{C}^{2}(x)\|^{2}+\|P_{C}^{2}(x)-P_{C}^{1}(x)\|^{2}+2<x-P_{C}^{2}(x),P_{C}^{2}(x)-P_{C}^{1}(x)>_{\mathcal {H}}\\&\Rightarrow \|P_{C}^{2}(x)-P_{C}^{1}(x)\|^{2}=2<x-P_{C}^{2}(x),P_{C}^{1}(x)-P_{C}^{2}(x)>_{\mathcal {H}}\leq 0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafc2f59cdc3c8d6bf7706a712637f47b42e1a51)
car
d'après le résultat intermédiaire précédent.