Utilisateur:Malosse/Brouillon

Formulaire concernant les aérofreins

Les équations utilisées proviennent en partie de la source https://pdf.sciencedirectassets.com/278653/1-s2.0-S1877705817X00192/1-s2.0-S1877705817319781/main.pdf et des formules 2 et 3, p 336s. Le modèle est simplifié. La traînée est constituée de 2 composants : la traînée induite que l'on note D_i et la traînée parasite que l'on note D_p. Soit v la vitesse air de l'aéronef. Il est établi que la traînée induite peut s'écrire

$D_{i}={b \over v^{2}}$

La traînée parasite peut s'écrire comme suit :

$D_{p}=av^{2}$

On peut aisément démontrer que la finesse optimale est obtenue lorsque $D_{i}=D_{p}$

Pour un planeur école comme le Blanik, la finesse optimale aérofreins rentés, est obtenue à $v_{m}\approx 25m/s$. On considère que le planeur en question a une finesse maximale de 20. Donc, le taux de chute du planeur sera de 1.25 m/s.

L'angle de plané sera donc de 1/f soit environ 3 degrés.

On suppose que lorsque l'on ouvre les aérofreins, la vitesse de chute sera de 3.75 m/s. On divise alors la finesse par un facteur 3. La traînée parasite est alors multipliée par 2 × 3. (Note: le facteur 2 provient du fait que la traînée induite devient petite et donc, pour diviser par 3 la finesse, il faut un facteur 6). Pour être plus formel, on définit le nouveau coefficient de traînée parasite b' = β b. On suppose la traînée induite inchangée. Lorsque les aérofreins sont ouverts, la traînée totale devient :

$D'={b \over v^{2}}+\alpha av^{2}$

Lorsque le planeur est en trajectoire horizontale (de masse m), le ralentissement est donné par la formule suivante :

$m{dv \over dt}=-D'$

On considère le planeur effectuant une approche à grande vitesse. La traînée induite est alors petite par rapport à la traînée parasite. On peut alors écrire :

$m{dv \over dt}=-\alpha av^{2}$

Cela est une équation différentielle facile à résoudre. On a donc :

$m{dv \over v^{2}}=-\alpha adt$

On calcule alors la primitive et l'on obtient alors:

$-{1 \over v}=-{1 \over m}\alpha at-Cte$

Donc,

$v={1 \over \alpha a/mt+Cte}$

À t = 0, on suppose que la vitesse est v₀ et donc, on a :

$v_{0}={1 \over \alpha a/m0+Cte}$

Donc,

$v={1 \over \alpha a/mt+1/v_{0}}$

La distance parcourue en fonction du temps est donc :

$x(t)=\int _{0}^{t}vd\tau =\int _{0}^{t}{d\tau \over \alpha a/m\tau +1/v_{0}}$

Donc,

$x={1 \over \alpha a/m}\int _{0}^{t}{d\tau \over \tau +{1 \over \alpha a/mv_{0}}}$

Donc,

$x={m \over \alpha a}\left[\log \left(t+{1 \over \alpha a/mv_{0}}\right)-\log \left({1 \over \alpha a/mv_{0}}\right)\right]$

Donc,

$x={m \over \alpha a}\left[\log \left(t+{1 \over \alpha a/mv_{0}}\right)+\log(\alpha a/mv_{0})\right]$

Donc,

$x={m \over \alpha a}\left[\log \left(t+{1 \over \alpha av_{0}}\times \alpha av_{0}\right)\right]$

Donc,

$x={m \over \alpha a}\log \left({\alpha av_{0} \over m}t+1\right)$

On considère maintenant l'instant t lorsque la vitesse devient v (par exemple 25 m/s).

On a alors :

$v={1 \over \alpha a/mt+1/v_{0}}$

Donc,

${\alpha a \over m}t+{1 \over v_{0}}={1 \over v}$

Donc,

$t={m \over \alpha a}\left({1 \over v}-{1 \over v_{0}}\right)$

La distance parcourue sera donc :

$x={m \over \alpha a}\log \left[{\alpha av_{0} \over m}\times {m \over \alpha }\left({1 \over v}-{1 \over v_{0}}\right)+1\right]$

On obtient donc, la simplification suivante :

$x={m \over \alpha a}\log \left({v_{0} \over v}\right)$

On effectue maintenant une application numérique.

On suppose que la finesse aérofreins fermés est f=20. On a alors,

On a alors:

${mg \over f}=2av^{2}$

Le facteur 2 provient du fait qu'à finesse maximale, la traînée induite est égale à la traînée parasite.

Donc :

$a={mg \over 2v^{2}f}$

Donc,

${a \over m}={g \over 2v^{2}f}$

Donc,

${m \over a}={2v^{2}f \over g}$

Donc,

$x={2v^{2}f \over \alpha g}\log \left({v_{0} \over v}\right)$

On remarque si v₀ est peu différent de v, vu que $\log(1+\epsilon )\approx \epsilon$, alors,

$x\approx {2v^{2}f \over \alpha g}\left({v_{0} \over v}-1\right)$

Donc, la distance gaspillée est à peu près proportionnelle à l'excès de vitesse lors de l'arrondi.

On suppose que v₀ = 35 m/s et donc $v_{0}={\sqrt {2}}v$

On a :

$\log({\sqrt {2}})=\log(2)/2={0.69 \over 2}=0.35$

On obtient donc:

$x={2\times 25^{2}\times 20 \over 5\times 10}\times 0.35={25000 \over 50}\times 0.35\approx 180m$

Donc, une approche au ras du sol va faire perdre 180 mètres soit 600 pieds, soit le tiers d'une piste faisant 2000 pieds de long.

Pour vérifier le résultat, on voit que la finesse aérofreins ouverts est

$f'={2f \over (\alpha +1)}{v^{2} \over v_{0}^{2}}$

Dans le cas présent, la finesse est simplement divisée par (α+1)/2.

On suppose que α = 5 (on divise par 3 la finesse résultante en approche normale). Donc, initialement, le planeur va voler comme une pierre avec une finesse de 20/6 ~ 3.3. C'est ce que l'on constate expérimentalement. Quand on pousse le Blanik à 70 nœuds, icelui perd de l'altitude violemment. Donc, sil on est en final à 1500 pieds de la piste à 500 pieds de hauteur, on va juste taper sur les chiffres.

Calcul de l'altitude densité

L'altitude densité est la masse volumique de l'air convertie en mètres correspondant à l'atmosphère standard.

La pression atmosphérique s'exprime comme suit :

$p(z)=p_{0}\exp \left(-{gz \over (C_{p}-C_{v})T_{0}}\right)$

Donc,

$\log(p(z))=\log(p_{0})+\log \left[\exp \left(-{gz \over (C_{p}-C_{v})T}\right)\right]$

Donc, $z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}\log \left({p_{0} \over p(z)}\right)$

De même, la masse volumique s'exprime comme suit :

$\rho (z)=\rho _{0}\exp \left(-{gz \over (C_{p}-C_{v})T_{0}}\right)$

Donc, l'altitude pour l'atmosphère standard est : $z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}\log \left({\rho _{0} \over \rho (z)}\right)$

On rappelle que

$p_{0}=\rho _{0}(C_{p}-C_{v})T_{0}$

Donc,

$z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}\log \left({p_{0} \over (C_{p}-C_{v})T_{0}\rho (z)}\right)$

Donc,

$z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}\left[\log \left({p_{0} \over (C_{p}-C_{v})T_{0}}\right)-\log(\rho (z))\right]$

On considère maintenant une atmosphère non standard. On a:

$p=\rho (C_{p}-C_{v})T$

On obtient donc :

$\rho ={p \over (C_{p}-C_{v})T}$

On suppose que la température dévie de δ T par rapport à l'atmosphère standard à la pression p. On a donc :

$\rho +\delta \rho ={p \over (C_{p}-C_{v})(T+\delta T)}$

On effectue un développement au premier ordre et l'on a :

${1 \over T+\delta T}={1 \over T}\left(1-{\delta T \over T}\right)$

Donc,

$\rho +\delta \rho ={p \over (C_{p}-C_{v})T}\left(1-{\delta T \over T}\right)$

Et donc,

$\delta \rho =-{p\delta T \over (C_{p}-C_{v})T^{2}}$

On remplace ρ(z) par ρ + δ ρ. On a alors :

$z+\delta z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}\left[\log \left({p_{0} \over (C_{p}-C_{v})T_{0}}\right)-\log(\rho (z)+\delta \rho )\right]$

Donc,

$z+\delta z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}\left[\log \left({p_{0} \over (C_{p}-C_{v})T_{0}}\right)-\log \left(\rho (z)\left(1+{\delta \rho \over \rho }\right)\right)\right]$

On effectue à nouveau un développement limité :

$z+\delta z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}\left[\log \left({p_{0} \over (C_{p}-C_{v})T_{0}}\right)-\left(\log \rho (z)+{\delta \rho \over \rho }\right)\right]$

Donc,

$z+\delta z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}\log \left({p_{0} \over (C_{p}-C_{v})T_{0}\rho (z)}\right)-{(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}{\delta \rho \over \rho }$

Il y a une simplification et donc :

$\delta z=-{(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g}{\delta \rho \over \rho }$

On remplace δ ρ :

$\delta z=-{(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g\rho }(-){p\delta T \over (C_{p}-C_{v})T^{2}}$

Donc,

$\delta z={(C_{p}-C_{v})T_{0} \over g\rho }{p\delta T \over (C_{p}-C_{v})T^{2}}$

On suppose que $T_{0}\approx T$. Donc,

$\delta z={p \over g\rho T}\delta T$

On remarque que :

${p \over \rho }={p_{0} \over \rho _{0}}$

Donc,

$\delta z={p_{0} \over g\rho _{0}T_{0}}\delta T$

On remplace $\rho _{0}$ et donc :

$\delta z={p_{0} \over g{p_{0} \over (C_{p}-C_{v})T_{0}}T_{0}}\delta T$

Et donc,

$\delta z={C_{p}-C_{v} \over g}\delta T$

Le gaz est diatomique et donc : $C_{v}={5 \over 7}C_{p}$. Donc,

$\delta z={{2 \over 7}C_{p} \over g}\delta T$

On rappelle que $C_{p}=1005$ g = 9.80665 et donc :

$\delta z={2 \over 7}\times {1005 \over 9.80665}\delta T$

Donc,

$\delta z=29.28\times \delta T$