Les T-normes[modifier | modifier le code]

En mathèmatiques, une T-norme (appelé en anglais T-norm qui est une abréviation de Triangular norm) est une opération binaire utilisé dans le cadre des espaces métriques probabilistes et surtout dans logique multivaluée, spécifiquement en logique floue.

La t-norme est un opérateur d'agrégation qui se caractérise par ses propriétés de conjonctivité. C'est aussi une généralisation de l'intersection dans un lattice. Le nom triangular-norm est lié à l'inégalité triangulaire dans un espace métrique ordinaire.

Définition[modifier | modifier le code]

Une t-norme est une fonction T: $[0,1]$ × $[0,1]$ → $[0,1]$ qui satisfait les propriétés suivantes:

Commutativité: $T(a,b)=T(b,a)$

Monotonie: $T(a,b)\leq T(c,d)$ si $a\leq c$ et $b\leq d$

Associativité: $T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c)$

Le nombre $1$ agit comme élément neutre: $T(a,1)=a$

Comme une t-norme est une opération algébrique binaire sur l'intervalle $[0,1]$ , la notation algébrique infix est aussi courante, la norme t étant généralement désignée par ( $*$ ).

Les conditions de définition de la t-norme sont exactement celles du monoïde abélien partiellement ordonné sur l'intervalle unitaire réel $[0,1]$ . (Cf. groupe ordonné.) L'opération monoïdale de tout monoïde abélien partiellement ordonné L est donc appelée par certains auteurs une norme triangulaire sur L.

Motivations et applications[modifier | modifier le code]

Les t-normes sont une généralisation de la conjonction logique habituelle à deux valeurs, étudiée dans la logique classique et dans les logiques floues. En effet, la conjonction booléenne classique est à la fois commutative et associative. La propriété de monotonie assure que le degré de vérité de la conjonction ne diminue pas si les valeurs de vérité des conjonctions augmentent. L'exigence que $1$ soit un élément neutre correspond à l'interprétation de $1$ comme vrai (et par conséquent 0 comme faux). La continuité, qui est souvent aussi requise par la conjonction floue, exprime l'idée que, grosso modo, de très petits changements dans les valeurs de vérité des conjonctions qui ne devraient pas affecter macroscopiquement la valeur de vérité de leur conjonction.

Les t-normes sont également utilisées pour construire l'intersection des ensembles flous ou comme base pour les opérateurs d'agrégation (voir les opérations sur les ensembles flous). Dans les espaces métriques probabilistes, les t-normes sont utilisées pour généraliser l'inégalité triangulaire des espaces métriques ordinaires. Bien sûr, des t-normes individuelles peuvent souvent être appliquées dans d'autres disciplines des mathématiques, car la classe contient de nombreuses fonctions bien connues.

Catégories des t-normes[modifier | modifier le code]

Une t-norme est appelée continue si elle est continue en tant que fonction, dans la topologie d'intervalle habituelle sur $[0,1]^{2}$ . (De même pour la continuité à gauche et à droite.)

Une t-norme est dite stricte si elle est continue et strictement monotone.

Une t-norme est appelée nilpotente si elle est continue et chaque $x$ dans l'intervalle ouvert $(0,1)$ est son élément nilpotent, c'est-à-dire qu'il existe un nombre naturel $n$ tel que $x^{n}$ est égal à 0.

Une t-norme est archimédienne s'il a la propriété d'Archimède, c'est-à-dire si pour chaque $x$ , $y$ , dans l'intervalle ouvert $(0,1)$ il y a un nombre naturel $n$ tel que $x^{n}$ est inférieur ou égal à $y$ ,.

L'ordre partiel habituel des t-normes est ponctuel, c'est-à-dire, $T_{1}\leq T_{2}$ si $T_{1}(a,b)\leq T_{2}(a,b)$ $\forall (a,b)\in [0,1]^{2}$

Dans la sémantique de la logique floue, plus qu'une t-norme est grande, plus la conjonction qu'elle représente est faible.