où est un noyau de rayon , quelle est la limite des ?
Il faut d'abord regarder qualitativement l'effet de la dynamique:
Elle diminue la densité là où le déséquilibre est fort, et l'augmente (relativement) là où il est plus faible.
Il est très facilement possible d'en déduire les points d'équilibre: ils satisfontl'égalité:
ce qui implique que là où n'est pas nulle, l'est. Ceci se traduit par le fait qu'il n'y a pas d'individus différents dans le -voisinage de chaque point.
Le point le plus intéressant est de passer en continu sur l'axe du temps; la dynamique temporelle des densités devient:
Le point le plus important va être de noter les propriétés de continuité de tout ces objets:
la distance Kr est continue par construction;
la dynamique des densités l'est donc aussi.
Cela implique que les trajectoires de la dynamique ne peut pas "faire de sauts" en terme de valeur de du Kr-déséquilibre: on ne peut pas passer d'un Kr-déséquilibre de 4/5 à un Kr-déséquilibre de 3/5 sans passer continuement par tous les points intermédiaires.
Nous devons nous intéresser à la dynamique de , donc regarder:
J'observe une proportion de 100% individus de classe A sur un petit échantillon (de points), cela ne veut pas nécesairement dire que la probabilité sous jacente d'appartenir à A est de 100%.
Ce dont je suis sûr, c'est qu'avec une probabilité de 95% (notons le , histoire d'être générique), ma proportion observée , vérifie (passons habilement sous silence que ceci est un résultat asymptotique, alors pour petit...) :
au pire, on a donc avec une proba de :
dans notre cas, , d'où:
pour , et donc, pour un échantillon de 4 individus:
Un processus de sauts ponctuels est défini par les réalisations d'une variable aléatoire (à valeur dans un borélien ) de distribution :
qualitativement la mesure de Palm est associée à la probabilité conditionnelle suivante (i.e. la distribution de proba conditionnée par le fait qu'un événement ponctuel ait lieu en ):
pour un processus stochastique bien défini et tel que:
Premières simplifications destinées à mieux comprendre le comportement de :
on écrit alors:
On peut alors regarder le comportement de et . On trouvera un résultat du genre:
et
ce qui donne:
et
Des resultats basés sur une écriture des matrices de variance / covariances diagonalisées, et en perturbant les angles des vecteurs propres (ou le poids relatif des valeurs propres) entre et .
lorsque quelqu'un arrive sur une porte vide on y attend (on l'appelle le "portier")
dès qu'on est deux à une porte le second va chercher les autres portes (on l'appelle le "messager"), sauf si le portier a déjà rencontré deux fois le même portier (cf 2.c), dans ce cas le portier lui donne l'état des files d'attente et il peut entrer s'assoir
si le messager trouve une porte vide il devient un portier
si le messager trouve un portier qu'il ne connait pas il lui dit qu'il est messager et continue sa recherche
si le messager rencontre un portier qu'il connait, c'est qu'il afait le tour des portes (je fais l'hypothèse qu'un messager est capable de trouver toutes les portes) et lui donne l'état de la file d'attente, si c'est la troisième fois au moins qu'il le voit, le portier dit au message le nombre de personnes qu'il a laissé rentrer, ce qui permet au message d'updater son état des lieux, le messager continue ensuite sa tournée des portiers
il faudrait modéliser l'état de la connaissance de chacun, du genre:
H1. les arrivées se font suivant un procssus poissonnien de paramètre lambda (par minute)
H2. il y a N invités et M portes
H3. la proba d'arrivée à chaque porte est équi répartie
H4. le temps de transit entre deux portes est de T minutes
Question 1:
Quelle est l'espérance du temps d'arrêt de "chaque porte est occupée par un portier" ?
Question 2:
Combien de temps en moyenne met le messager pour avoir rencontré deux fois chaque portier ?
Question 3:
Sachant qu'il y a un vrai messager (qui a rencontré au moins deux fois chaque portier), quel est la moyenne de la durée entre les événements "une portier a rencontré le messager" et "un nouvel invité arrive à sa porte"?