Utilisateur:Jean de Parthenay/brouillon3

Récurrence par difféomorphisme

On note $\phi :(t_{1},t_{2},x_{1},\ldots ,x_{n-2})\mapsto (\cos t_{1}\cos t_{2},\sin t_{1}\cos t_{2},x_{1}\sin t_{2},\ldots ,x_{n-2}\sin t_{2}).$

On remarque que l'image de $K=]0,2\pi [\times [0,\pi /2[\times B_{0,1}(\mathbb {R} ^{n-2})$ est contenue dans la boule unité de $\mathbb {R} ^{n}.$

Plus précisément, l'image $\phi (K)$ est $B_{0,1}(\mathbb {R} ^{n})$ privée des points $y_{2}=0,y_{1}>0$, ensemble de mesure nulle.

De surcroît, $\phi$ est injective sur $K$.

On note $c_{1}=cos(t_{1})$, ... $s_{1}=sin(t_{2})$. Le Jacobien de $\phi$ est $J={\begin{vmatrix}-s_{1}c_{2}&-s_{2}c_{1}&0&0&\ldots &0&0\\c_{1}c_{2}&-s_{1}s_{2}&0&0&\dots &0&0\\0&c_{2}x_{1}&s_{2}&0&\ldots &0&0\\0&c_{2}x_{2}&0&s_{2}&\ldots &0&0\\\ldots \\\\0&c_{2}x_{n-2}&0&0&\ldots &0&s_{2}\end{vmatrix}}=s_{2}^{n-2}c_{2}s_{2}.$ (développement par bloc).

On en déduit $V_{n}(1)=\int ...\int _{B_{0,1,n}}dm=\int ...\int _{K}J(\phi )(X)dX$ Soit $V_{n}(1)=\int _{0}^{2\pi }dt_{1}\int _{0}^{\pi /2}\cos(t_{2})\sin(t_{2})^{n-1}dt_{2}V^{n-2}(1)={2\pi \over n}V^{n-2}(1)$.

Par récurrence, on retrouve alors la formule donnée précédemment, qui s'écrit $V^{n}(1)=\prod _{k=0}^{[{n-1 \over 2}]}{2\pi \over n-2k}.$