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Utilisateur:Jean-Christophe BENOIST/PEP

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Dérivation des principes de la mécanique quantique

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Lorsque Pauli a proposé le principe d'exclusion (1925), les principes fondamentaux de la mécanique quantique n'étaient pas encore bien établis. En fait, il apparait que le principe d'exclusion n'est pas un principe fondamental et peut se dériver des principes fondamentaux de la mécanique quantique.

Voici une dérivation du principe d'exclusion de Pauli[1] :

Soit un hamiltonien total, représentant l'état de 2 particules (l'extension à N particules est immédiate) : .

Si et sont deux particules indiscernables, alors . On dit alors que le hamiltonien est invariant par permutation, et si l'on considère qui est l'opérateur de permutation de la particule et , alors le commutateur de ces deux opérateurs est nul : .

Le commuteur étant nul, il est possible de trouver une base dans laquelle ces deux opérateurs sont diagonaux : les solutions de sont donc les vecteurs propres de .

Comme , les valeurs propres de cet opérateur sont +1 ou -1. Il y a donc deux familles de solution possibles du hamiltonien total :

Les solutions symétriques :  ; et étant la position des particules 1 et 2[2]. C'est le cas pour les bosons.

Les solutions antisymétriques : . C'est le cas pour les fermions et donc pour le principe d'exclusion de Pauli.

Si on décompose la fonction d'onde totale des deux particules en intrication des états propres et de chaque particule, les solutions antisymétriques sont alors de la forme :

.

Si les particules 1 et 2 sont dans le même état quantique, alors , et donc tend vers 0 quand tends vers . La probabilité de trouver deux fermions identiques dans le même état quantique à la même position est nulle.

Ceci est le principe d'exclusion de Pauli : deux fermions identiques ne peuvent être dans le même état quantique à la même position.


  1. Cette dérivation est fondée sur les documents suivants : Cours de Jean Dalibard, Support de cours du Laboratoire Leprince-Ringuet et une Lecture de l'ETH Zurich
  2. On pourrait prendre toute autre observable que la position, mais le principe d'exclusion de Pauli se formule à partir de la position des particules.