En probabilité et statistique, un processus ponctuel est un type particulier de processus stochastique pour lequel une réalisation est en ensemble de points isolés du temps et/ou de l'espace. Par exemple la position des arbres dans une forêt est la réalisation d'un processus ponctuel.

Les processus ponctuels sont des objets très étudiés en probabilité et en statistique pour représenter et analyser des données spatialisées qui interviennent dans une multitude de domaines telle que l'écologie, l'astronomie, l'épidémiologie, la géographie, la sismologie, télécommunication, la science des matériaux, et pleins d'autres.

Le cas particulier des processus ponctuel sur la droite réelle est un cas très étudié, la connaissance de la distance entre deux points consécutifs caractérisant le processus. Ce type de processus ponctuel est très utilisé pour modéliser des événements aléatoires dans le temps, tel que l'arrivée d'un client (théorie des fils d'attentes), l'impulsion d'un neuronne...

Théorie des processus ponctuels[modifier | modifier le code]

En mathématiques, un processus ponctuel est un élément aléatoire dont les valeurs sont des pattern de points, c'est-à-dire des "collections" de point sur un ensemble $S$ .

Il est possible de généraliser en définissant un pattern de point comme étant une mesure de comptage localement finie.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit $S$ un espace métrique localement compact équipé de sa tribu borélienne ${\mathcal {B}}(S)$ . Nous noterons $N_{S}$ l'ensemble des pattern de points de $S$ , c'est-à-dire l'ensemble des sous-ensembles localement fini de $S$ . Un élément de $N_{S}$ sera appelé "configuration" et sera noté $\omega$ .

Nous munissons $N_{S}$ de la tribu ${\mathcal {N}}_{S}$ engendrée par les applications de comptage $f_{B}$ : $N_{S}\to \mathbb {N} ,\ \omega \mapsto \#(\omega \cap B)$ , où B est un compact de $S$ et où $\#$ désigne le cardinale de l'ensemble fini considéré.

Un processus ponctuel est alors une application mesurable $X$ d'un espace de probabilité vers l'espace mesuré $(N_{S},{\mathcal {N}}_{S})$ .

L'exemple le plus commun d'espace $S$ est l'espace euclidien $R^{d}$ ou un de ses sous-espaces. Mais les processus ponctuels ne sont pas limités à ces exemples.

Mesure intensité[modifier | modifier le code]

La mesure intensité du processus $X$ est une mesure sur $S$ qui mesure le nombre moyen de points du processus qui tombe dans un borélien de $S$ , et s'écrit pour $B\in {\mathcal {S}}$ , $m_{X}(B):=\mathbb {E} [\#(X\cap B)]$ .

Fonctionnelle de Laplace[modifier | modifier le code]

La fonctionnelle de Laplace d'un processus ponctuel $X$ , noté $\Psi _{X}$ , est une fonctionnelle de l'ensemble de toutes les fonctions $f$ positives de $S$ dans $\mathbb {R}$ et est définie comme suit:

$\Psi _{X}(f)=\mathbb {E} \left[\exp \left(-{\underset {x\in X}{\sum }}f(x)\right)\right]$

Cette fonctionnelle joue un rôle similaire à la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. En effet la fonctionnelle de Laplace caractérise la loi d'un processus ponctuel, c'est-à-dire que deux processus ponctuels qui ont des fonctionnelles de Laplace égales ont la même loi.

Théorème de Rényi : Caractérisation par les probabilités de vide[modifier | modifier le code]

Compte tenu de la structure de la tribu sur ${\mathcal {N}}_{S}$ , la loi d'un processus ponctuel $X$ est entièrement déterminée par les probabilités $(\mathbb {P} (\#(X\cap B)=k))_{k,B}$ où $k$ parcours l'ensemble des entiers naturels $\mathbb {N}$ et $B$ l'ensemble des boréliens bornés de $S$ . Mais le théorème de Rényi nous donne une caractérisation beaucoup plus simple.

Théorème de Rényi — Si l'espace $S$ est séparable couplet, alors la loi d'un processus ponctuel est entièrement déterminée par les probabilités de vide (void prabilities en anglais), c'est-à-dire par la famille $(\mathbb {P} (X\cap B=\emptyset ))_{B}$ , où $B$ parcours l'ensemble des boréliens bornés.

Processus ponctuel de Poisson[modifier | modifier le code]

Le processus ponctuel de Poisson est le plus simple et le plus universel des processus ponctuels. C'est une généralisation spatiale du processus de Poisson utilisé en théorie des fils d'attentes.

Définition d'un processus ponctuel de Poisson — Soit $m$ une mesure non-atomique sur $S$ . Un processus ponctuel $X$ est un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité $m$ si, pour toutes familles $B_{1},\dots ,B_{n}$ de boréliens bornés disjoints et pour tous entiers naturels $k_{1},\dots ,k_{n}$ ,

$\mathbb {P} (\#(X\cap B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n)=\prod _{i=1}^{n}\exp(-m(B_{i})){\frac {m(B_{i})^{k_{i}}}{k_{i}!}}$

Propriétés des processus ponctuels de Poisson[modifier | modifier le code]

Cette section regroupe les propriétés fondamentales des processus ponctuels de Poisson. Ces résultats sont souvent la conséquence du théorème de Rényi.

Proposition (Superposition de deux processus ponctuels de Poisson) — Soient $X$ et $Y$ deux processus ponctuels de Poisson de mesures d'intensité $m_{X}$ et $m_{Y}$ . Alors la superposition $X\cup Y$ des deux processus est un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité $m_{X}+m_{Y}$ .

Proposition (Amincissement (thinning) d'un processus ponctuel de Poisson) — Soient $X$ un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité $m_{X}$ et $p:S\to [0,1]$ une fonction mesurable. Nous construisons le processus $X_{p}$ en décidant pour chaque point $x$ du processus $X$ , et de manière indépendante, de la garder avec probabilité $p(x)$ et de l'effacer avec probabilité $1-p(x)$ .

Alors le processus $X_{p}$ est un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité $m_{p}(.)=\int _{.}p(x)m(dx)$ .

Proposition (Loi du processus conditionné par le nombre de points) — Soit $X$ un processus ponctuel de Poisson d'intensité $m$ et soit $B$ un borélien borné de $S$ . Alors conditionnellement à l'événement $\#(X\cap B)=n$ , les $n$ points du processus sont des réalisations indépendantes et identiquement distribuées de loi ${\frac {m(.\cap B)}{m(B)}}$ .

Simulation d'un processus ponctuel de Poisson[modifier | modifier le code]

$m(dx,dy)=100dxdy$ , fenêtre $[0,1]^{2}$

$m(dx,dy)=100xdxdy$ , fenêtre $[0,1]^{2}$

La dernière proposition fournit une méthode simple et très efficace pour simuler des processus ponctuels de Poisson.

Voici comment simuler un processus ponctuel de Poisson d'intensité $m$ dans un compact $B$ :

Déterminer le nombre de points. Pour ce faire on simule une loi de Poisson $n$ de moyenne $m(B)$ .
Ensuite il faut déterminer la position des $n$ points. Pour celà on simule $n$ variables aléatoires i.i.d. de loi $m$ restreinte sur $B$ .

L'objet simulé est une réalisation du processus ponctuel de Poisson sur la fenêtre $B$ de mesure d'intensité $m$ .

Formule de Slivnyak-Mecke[modifier | modifier le code]

La formule de Slivnyak-Mecke, aussi connu sous le nom de formule de Campbell, est une formule très utilisé en géometrie stochastique et en physique statistique.

Théorème — Soit $F:S\times N_{S}\to \mathbb {R} ^{+}$ une fonction mesurable et $X$ un processus ponctuel de Poisson d'intensité $m$ . Alors nous avons

$\mathbb {E} \left[\sum _{x\in X}F(x,X\setminus x)\right]=\mathbb {E} \left[\int _{S}F(x,X)m(dx)\right].$

Le terme de droite est dans de nombreux cas calculable et permet de calculer en moyenne, grâce à la formule de Slivnyak-Mecke, la somme des contributions de chaque point du processus.