Utilisateur:Guerboussa/Brouillon 03
La notion d'espace compact
Questions :
Qu’est-ce qu’un espace compact ?
Quelle relation entre la notion d’espace compact et la notion de convergence ?
On peut donner une définition ultra-simple, celle de la 'chaussette :
Un espace est dit topologique dans la mesure où ses propriétés, dont celle de voisinage, sont conservées lorsqu’on fait subir des déformations continues, sans cassure, à cet espace (un exemple classique et élémentaire est celui d’une surface élastique que l’on étire sans la déchirer, ou la chaussette que l’on retourne de telle sorte que sa surface apparemment extérieure devienne, toujours apparemment, "intérieure").
Mais soyons plus précis :
qu’est-ce qu’un espace ?[modifier | modifier le code]
Un espace, c’est un ensemble (ensemble d’éléments, et ensemble de sous-ensembles).
Il peut exister des opérations sur les éléments d’un ensemble :
- des opérations sur les composants de l’ensemble : union, intersection ;
- mais aussi des opérations qui associent des éléments de l’ensemble de base ( « l’espace » ) avec avec des éléments d’un autre ensemble (par exemple l’ensemble des nombres réels).
Les propriétés de ces opérations permettent de caractériser l’espace de départ : il y a toute une littérature sur ces opérations, les propriétés de ces opérations, et les propriétés qui sont conférées aux ensembles de départ par les caractéristiques des opérations sur leurs éléments.
Un exemple :
- l’ensemble de départ « R3 » : tous les triplets de nombres réels positifs ;on peut appeler « points » les éléments de « R3 » ; par exemple le triplet (9,5,6).
- une opération : définir tous les points qui sont à une distance de 1 du point (10,10,10)
Cette opération pourrait s’appeler la fonction (l’équation) d’une sphère de rayon 1, centrée sur le point (10,10,10).
qu’est-ce qu’une topologie ?[modifier | modifier le code]
C’est une application (une opération ayant des propriétés précises) d’un espace sur lui-même : à tout élément de l’espace de départ, cette application associe des sous-ensembles de l’espace ; pour avoir l’appellation de « topologie », il faut que l’application définisse des familles de sous-ensembles, et que ces familles soient stables par unions ou intersections.
On appelle ces familles d’éléments des « ouverts ».
Intuitivement : un ouvert correspond à un ensemble qui ne contient pas sa « frontière ».
Un exemple : dans un espace à 3 dimensions réelles (on appelle cet espace R3), l’opération qui définit l’ensemble des points qui sont exactement « sur »la sphère de rayon 1 centrée sur le point (10,10,10) est une topologie sur l’espace R3.
... ce n’est pas évident à démontrer, mais en tout cas ça se démontre !
un espace topologique est un espace muni d’une topologie[modifier | modifier le code]
qu’est-ce qu’un espace compact ?[modifier | modifier le code]
Parmi les propriétés éventuelles d’un espace topologique, il y a la compacité.
La règle internationale est : « un espace est compact si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini ». Les formulations sont peu stables ; par exemple, en langue française, on rajoute que l’espace doit être « séparé » ; on parle aussi d’espace quasi-compacts...
Sachant que : « un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union de ces sous-ensembles soit égale à X ».
Exemple non mathématique : le pavage d’une cuisine par des carreaux est un recouvrement de la surface de la cuisine. Si toutes les pièces de la maison (y compris les couloirs et les placards) sont pavées de la même façon, on pourrait parler d’espace compact en parlant du sol de la maison. Ce serait malgré tout un abus de langage, puisque les carreaux ne sont pas des « ouverts » : ils ne devraient pas contenir leur propre frontière (comment imaginer un carreau sans bord ?).
Exemple géométrique et plus rigoureux : d’une droite (qui est une image pour représenter un espace défini sur R avec une topologie adéquate, par exemple euclidienne), on peut toujours extraire un segment de droite, qui est un ensemble fini de points (le segment de droite est fini, mais il est composé de points en nombre infini). On démontre que la droite euclidienne est un espace topologique compact.
propriétés relatives aux éléments d’un espace topologique[modifier | modifier le code]
... limite, continuité, compacité, frontière, intérieur/extérieur, connexité, dénombrabilité, ...
limite et convergence[modifier | modifier le code]
Exemples de suites :
- dans l’ensemble des entiers naturels « N » , la suite des nombres pairs : 0, 2, 4, 6, etc...
Il n’y a pas de limite à cette suite ; le cardinal (nombre d’éléments) de cet ensemble est infini, mais dénombrable.
- la suite qui commence par les nombres 0 et 1, et qui définit un point (N) comme la moyenne des deux termes qui le précèdent : (N-1) et (N-2) :
1 = [0]
2 = [1]
3 = [0,5=(0+1)/2]
4 = [0,75=(1+0,5)/2]
5 = [0,6250=(0,5+0,75)/2 ]
6 = [0,6875=(0,75+0,6250)/2 ]
7 = [0,65625]
8 = [0,671875]
9 = [0,6640625]
…
Cette suite est convergente : plus le numéro d’ordre augmente, plus on se rapproche de la valeur 0,6666... (une fois juste au-dessus, une fois juste au-dessous). On dit aussi que la suite admet une limite finie : 2/3
distance[modifier | modifier le code]
On dit parfois qu’un espace K est compact si de toute suite de K on peut extraire une sous-suite convergente. C’est effectivement démontré, mais seulement dans les cas où l’espace K en question est muni d’une métrique : on peut calculer une distance entre n’importe quels éléments de cet espace, pris deux à deux. Cette notion de distance est extrêmement précise.
Dans les cas où on peut utiliser une métrique, on dit que l’espace topologique est métrisable.
Exemple : l’analyse génétique en botanique. On peut en effet mesurer des distances génétiques entre individus ou entre espèces, reconstituer des évolutions passées, et en inférer des évolutions futures.
Exemple : la constitution de typologies en sociologie, en s’appuyant sur les méthodes de l’analyse statistique multidimensionnelle.
frontière[modifier | modifier le code]
Exemple : la linguistique.
La topologie est utilisée en linguistique pour des descriptions sémantiques, lexicales et grammaticales.
La notion de « motif » dans un texte : si le texte est formé d’un certain nombre d’occurrences des éléments A, B, C, D, E, un motif pourra être la micro-structure récurrente ACD ou bien encore AA, etc... Cette notion permet de définir un espace topologique et permet à l’analyse sémantique de s’appuyer sur les méthodes de l’analyse mathématique.
Mais la notion de distance n’est pas toujours respectée dans ces disciplines. Il en résulte que la topologie classique, avec la notion de limite, est insuffisante. La notion de frontière est difficile à manipuler avec des opérateurs classiques, et on constate l’utilisation d’opérateurs plus « flous » : encore/pas encore, déjà/déjà plus.
Exemple :
Comment décrire le déplacement de Jean entre la ville et la campagne ?
1 = Jean est dans la ville
2 = Jean est encore en ville
3 = Jean n’est déjà plus en ville
4 = Jean n’est pas encore à la campagne
5 = Jean est déjà à la campagne
6 = Jean est dans la campagne
Où est la frontière entre la ville et la campagne ? Si on ne peut pas définir de frontière, peut-on parler de topologie dans les domaines linguistiques ?
Effectivement, certains linguistes disent n’utiliser le terme « topologique » que comme une métaphore.