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En statistique

fig.06 - L'écart type sert à indiquer, à l'aide de barres d'erreur, l'incertitude sur la largeur moyenne des sépales

Pour une population finie le calcul de l'écart type est purement algébrique, sans référence aux probabilités, et le statisticien emploie l'écart type empirique défini par $s:={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$.

Lorsqu'il n'est pas possible de connaître toutes les valeurs de la caractéristique considérée, on se trouve dans le cadre de la théorie statistique. Le statisticien procède alors par échantillonnage et estimation pour évaluer les grandeurs analysées telles que l'écart type.

Estimateurs

Un estimateur est une fonction permettant d'approcher un paramètre d'une population à l'aide d'un échantillon tiré au hasard, ou une grandeur sur un phénomène aléatoire à partir de plusieurs réalisations de celui-ci.

Dans le cas d'un échantillon de taille $n$, et dont la vraie moyenne -ou espérance- $\mu$ est connue, l'estimateur est le suivant:

$$\sigma _{X}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}.$$

Malheureusement, le plus souvent on ne connaît pas μ et on doit l'estimer à partir de l'échantillon lui-même grâce à l'estimateur suivant : ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$. Différents estimateurs de l'écart type sont généralement utilisés. La plus part de ces estimateurs s'expriment par la formule :

$$S_{k}={\sqrt {{\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}.$$

$S_{n-1}$ (ou S′ ) est l'estimateur le plus utilisé, mais certains auteurs recommandent d'utiliser $S_{n}$ (ou S ).

Propriétés des estimateurs

Article détaillé : Qualités d'un estimateur.

Deux propriétés importantes des estimateurs sont la convergence et l'absence de biais.

Pour tout $k$ tel que $k/n$ tende vers $1\!$, la loi des grands nombre garantis que $S_{n}^{2}$ puis $S_{k}^{2}$ sont des estimateur convergents de $\sigma ^{2}\!$. Grâce au théorème de continuité, stipulant que si f est continue $\lim \limits _{n\to \infty }f(X_{n})=f(\lim \limits _{n\to \infty }X_{n})$. La fonction racine carrée étant continue, $S_{k}$ converge lui aussi vers $\sigma$. En particulier $S_{n}$et $S_{n-1}$sont des estimateurs convergents de $\sigma$, ce qui reflète l'approximation de $\sigma$ par ces deux séries lorsque n devient de plus en plus grand et conforte le statisticien à utiliser ces estimateurs.

L'estimateur de la variance $S_{n-1}^{2}$ est sans biais. Cependant, la non linéarité de la fonction racine carrée fait que $S_{n-1}$est légèrement biaisé. Les estimateurs $S_{n}^{2}$ et $S_{n}$ sont eux aussi biaisés. Le fait de faire intervenir non pas n mais n-1 au dénominateur (correction de Bessel) dans le calcul de la variance vient du fait que déterminer la moyenne de x à partir de l'échantillon fait perdre un degré de liberté puisque la formule ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ relie ${\bar {x}}$ aux valeurs x_i. On a donc seulement n-1 valeurs indépendantes après le calcul de ${\bar {x}}$. Dans le cas ou l'on cherche à estimer l’écart-type d'une loi normale, on dispose d'un estimateur non biaisé de $\sigma$ proche de $S_{n-1,5}$. Le choix de ${n-1,5}$permet de corriger le biais supplémentaire lié à la racine carrée.

La précision, donnée par l'erreur quadratique moyenne, est difficile à calculer explicitement pour des lois quelconques. Il semblerait cependant qu'en dépit d'un biais plus important, $S_{n}$ soit plus précis que $S_{n-1}$.