Utilisateur:Cornelius Fyla/Brouillon

TRAJECTOIRES ET DÉVIATIONS DE LA LUMIÈRE DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL GÉNÉRÉ PAR UN OBJET MASSIF

1. INTRODUCTION

La déviation de la lumière dans un champ gravitationnel est un phénomène prédit par la mécanique classique et par la relativité générale.

Les deux théories donnent cependant des résultats sensiblement différents, la relativité générale prédisant notamment des phénomènes inhabituels qui dépendent des positions de l'observateur et de la source lumineuse.

2. MÉCANIQUE CLASSIQUE

Avertissement : la vitesse d’un photon étant par définition relativiste, la mécanique classique ne conduit pas aux résultats observés.

Selon la mécanique classique, l'orbite du photon est plane et sa trajectoire est une branche d'hyperbole ayant pour foyer le centre de l'objet massif.

Coordonnées polaires ($r,\varphi$) et paramètre d'impact $b$

Son équation s'écrit, en prenant la coordonnée radiale inverse $u={\frac {1}{r}}$ :

$u(\varphi )={\frac {Rs}{2b^{2}}}(1+e\cos(\varphi -\varphi _{0}))$ avec  :

$Rs={\frac {2GM}{c^{2}}}$ ($G$ constante gravitationnelle, $M$ masse de l’objet massif et $c$ vitesse de la lumière dans le vide),

$b$ paramètre d’impact (distance perpendiculaire entre la trajectoire du photon qui arrive depuis l’infini et l’axe $\varphi =0$),

$e$ excentricité = ${\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}$ et $\varphi _{0}$ axe de symétrie = $\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)$.

Pour un objet massif donné, la trajectoire du photon est entièrement déterminée par le paramètre d'impact $b$.

Photon arrivant à la vitesse c depuis l'infini

La vitesse $v(r)$ du photon est $c{\sqrt {1+{\frac {Rs}{r}}}}$, ce qui montre qu'en mécanique classique la vitesse de la lumière n'est pas un invariant.

Pour un objet massif supposé sphérique de rayon $R$, si $b>R{\sqrt {1+{\frac {Rs}{R}}}}$ le photon ne rencontre pas l'objet massif, sa distance minimale (au périastre) est ${\frac {2b^{2}}{Rs(1+e)}}$ , et le photon continue vers l'infini sur une trajectoire symétrique par rapport à l'axe $\varphi _{0}$ avec une déviation angulaire totale de $2\varphi _{0}-\pi$.

Avec la valeur limite de $b$, la déviation maximale est $2\arccos \left(-{\frac {1}{1+{\frac {2R}{Rs}}}}\right)-\pi$ ce qui donne pour le soleil ($R\odot$ $6,96342\ 10^{8}m$, $M\odot$ $1,9891\ 10^{30}kg$), et avec $G$ constante gravitationnelle $6,6743\ 10^{-11}m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$ et $c$ vitesse de la lumière dans le vide $299\ 792\ 458\ m.s^{-1}$, une valeur de $0,875$ seconde d’arc, et pour un objet massif de la masse du soleil et de rayon $Rs$ : $2\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)-\pi$ soit environ $39^{\circ }$.

Si $2b\gg Rs$, la déviation totale $\simeq {\frac {Rs}{b}}{\bigl (}={\frac {2GM}{c^{2}b}}{\bigr )}$.

Pour $b<R{\sqrt {1+{\frac {Rs}{R}}}}$, le photon impacte l'objet massif.

Un observateur placé à la surface d'un objet massif de rayon $Rs$ et regardant le ciel au-dessus de lui, verrait les étoiles observables dont la latitude réelle est comprise entre $90^{\circ }$ et $90^{\circ }-\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)$ ( $\simeq -19,5^{\circ }$), la "contraction" étant légère pour les latitudes proches de $90^{\circ }$, et un peu plus prononcée pour les latitudes apparentes proches de $0^{\circ }$. Ce phénomène s’applique également aux diamètres apparents des étoiles, qui sont inférieurs aux diamètres réels avec un facteur maximal de contraction de ${\frac {4}{3}}$ pour la latitude apparente $0^{\circ }$.

Photon émis depuis la surface de l'objet massif sphérique de rayon R

Si $c$ est la vitesse du photon à l'émission, sa vitesse $v(r)$ est $c{\sqrt {1-{\frac {Rs}{R}}\left(1-{\frac {R}{r}}\right)}}$, qui s'annule à l'$\infty$ si $R=R_{s}$.

3. RELATIVITÉ GÉNÉRALE

Le déplacement élémentaire du photon est un vecteur de genre lumière et son produit scalaire est nul.

En considérant que le champ gravitationnel est à symétrie sphérique et en appliquant la métrique de Schwarzschild (voir ses limites en conclusion), l'orbite du photon reste dans un plan ($\theta =cte$), et le produit scalaire du déplacement élémentaire $(cdt,dr,d\varphi ,d\theta )$ s'écrit avec $d\theta =0$ :

$-\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)dr^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}=0$.

Note : dans la région asymptotique $r\gg Rs$, la coordonnée $r$ s’interprète comme la distance physique entre le photon et le centre de l’objet massif.

L'équation précédente et la conservation de l'énergie et du moment cinétique du photon le long de sa géodésique permettent d'obtenir la trajectoire du photon, par intégration de :

${du \over d\varphi }=\pm {\sqrt {Rs\ u^{3}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$ avec $u$ coordonnée radiale inverse $={\frac {1}{r}}$, sa valeur initiale et avec  :

$Rs=$ rayon de Schwarzschild $={\frac {2GM}{c^{2}}}$ ($G$ constante gravitationnelle, $M$ masse de l’objet massif et $c$ vitesse de la lumière dans le vide),

$b$ paramètre d’impact (distance perpendiculaire entre la trajectoire du photon qui arrive depuis l’infini et l’axe $\varphi =0$, voir figure ci-dessus).

Pour un objet massif donné, la trajectoire du photon est entièrement déterminée par le paramètre d'impact $b$ et prend différentes formes suivant la valeur de $b$ par rapport à une valeur critique $b_{crit}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs$ qui annule le discriminant de $\left({du \over d\varphi }\right)^{2}$.

Fig. A - 4 trajectoires d'un photon arrivant depuis l'$\infty$ autour d'un trou noir (déviations ${\frac {\pi }{2}},\ \pi ,{\frac {3\pi }{2}}\ et\ 2\pi$)

Photon arrivant depuis l'infini :

1) Si $b>b_{crit}$, et sous la condition que le photon ne rencontre pas l'objet massif supposé sphérique de rayon $R$ soit $b>b_{lim}=R{\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {Rs}{R}}}}}$, sa coordonnée radiale $r$ décroit jusqu'à son minimum (au périastre, annulation de ${du \over d\varphi }$) qui vaut $r_{per}={\frac {2b}{\sqrt {3}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {b_{crit}}{b}}\right)\right)$, et le photon continue vers l'infini sur une trajectoire symétrique par rapport à l'axe $\varphi _{per}$ (valeur de $\varphi$ au périastre) avec une déviation angulaire totale de $2\textstyle \int _{r_{per}}^{\infty }{\frac {1}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}({1-{\frac {Rs}{R}}})}}}}dr-\pi$.

Fig. B - Trajectoire d'un photon arrivant depuis l'$\infty$ et effectuant 2 tours autour d'un trou noir

Dans le cas où le rayon $R$ est $\gg Rs$ puisque $b>R$, $b$ est $\gg Rs$ et un développement limité en ${\frac {Rs}{b}}$ permet d’obtenir une déviation totale

$\simeq {\frac {2Rs}{b}}\left(={\frac {4GM}{c^{2}b}}\right)$, ce qui donne avec $b=b_{lim}$ pour le soleil ($R\odot$ $6,96342\ 10^{8}m$, $M\odot$ $1,9891\ 10^{30}kg$), avec $G$ constante gravitationnelle $6,6743\ 10^{-11}m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$et $c$ vitesse de la lumière dans le vide $299\ 792\ 458\ m.s^{-1}$, une valeur de $1,750$ seconde d’arc.

Note : à la précision de mesure près, les photographies du voisinage du disque solaire prises par Arthur Eddington et son équipe lors de l’éclipse totale sur l’île de Principe le 29 mai 1919 ont confirmé cette valeur (qui vaut 2 fois la valeur de la théorie de la mécanique classique calculée précédemment).

Fig. C - Trajectoire d'un photon arrivant depuis l'$\infty$ et capturé par un trou noir

Fig. D - Trajectoire d'un photon arrivant depuis l'$\infty$ et absorbé par un trou noir ou d'un photon émis vers l'$\infty$ à partir de ce trou noir

Si l'objet massif est un trou noir, il n'existe pas de valeur mathématique maximale de la déviation : pour $b$ très proche de $b_{crit}$, le photon peut effectuer plusieurs tours autour du trou noir avant de continuer vers l'infini. La valeur physique maximale de la déviation est donc $\pi$.

2) Si $b=b_{crit}$, ${du \over d\varphi }$ devient nul pour une valeur critique $r_{crit}={\frac {3}{2}}Rs$ et si $R<{\frac {3}{2}}Rs$, le photon se place sur une orbite circulaire instable de rayon $r_{crit}$ autour de l’objet massif, ce qui signifie qu’un photon ne peut pas "tangenter" un objet massif de rayon $<r_{crit}$.

Un objet massif de rayon $<r_{crit}$ est donc entouré par une surface sphérique de photons de coordonnée radiale$r_{crit}={\frac {3}{2}}Rs\left(={\frac {3GM}{c^{2}}}\right)$ provenant des étoiles avec paramètre d'impact $b_{crit}$.

Note : cette sphère ne peut être vue en tant que telle et se réduit pour un observateur placé à la coordonnée radiale ${\frac {3}{2}}Rs$ à un anneau lumineux très fin à la latitude $0^{\circ }$ de l'observateur.

3) Si $b<b_{crit}$, $r$ n’a pas de minimum et le photon impacte l’objet massif, sans condition sur la valeur de son rayon $R$.

Un observateur placé sur l'horizon des évènements d'un trou noir ("surface" immatérielle de coordonnée radiale $Rs$) et regardant le ciel au-dessus de lui, verrait toutes les étoiles observables de l’univers dans un disque de latitude apparente $L_{crit}=\arctan \left({\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}\right)$ soit $\simeq 21^{\circ }$, la "contraction" étant faible pour les latitudes élevées (pas de contraction pour $90^{\circ }$ apparent), devenant plus forte pour les latitudes faibles et tendant vers l’infini pour la limite $L_{crit}$, les photons devant effectuer plusieurs tours autour du trou noir pour s’approcher de cette limite en rentrant dans l'horizon des événements. Les diamètres apparents des étoiles sont inférieurs aux diamètres réels, et diminuent de plus en plus sensiblement avec la latitude.

Une étoile située très précisément à la latitude $-90^{\circ }$ c’est-à-dire "derrière" le trou noir sur l’axe passant par son centre et par l’observateur apparaîtra à ce dernier sous la forme de cercles lumineux très fins centrés sur cet axe ("anneaux d’Einstein") au-dessus d'une latitude proche de $L_{crit}$.

Fig. E - Trajectoire d'un photon émis depuis un trou noir et y retournant

Fig. F - Trajectoire d'un photon émis depuis un trou noir de masse $M\odot$ et capturé par le trou noir

Fig. G - Exemple d'image apparente des disques d'accrétion d'un trou noir

Photon émis depuis la coordonnée radiale Rs :

1) Si $b>b_{crit}$, la coordonnée radiale $r$ du photon augmente jusqu'à sa valeur maximale (à l'apoastre, annulation de ${du \over d\varphi }$) qui vaut $r_{apo}={\frac {2b}{\sqrt {3}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {b_{crit}}{b}}\right)\ +{\frac {4\pi }{3}}\right)$ et le photon continue sur une trajectoire symétrique par rapport à l'axe $\varphi _{apo}$ (valeur de $\varphi$ à l'apoastre) puis revient dans l'horizon des évènements.

2) Si $b=b_{crit}$, le résultat est identique à celui vu précédemment pour $b=b_{crit}$ : le photon se place sur une orbite circulaire instable de rayon $r_{crit}$ autour de l’objet massif (sphère de photons).

3) Si $b<b_{crit}$, $r$ n’a pas de maximum et le photon s’éloigne de l’objet massif vers l’infini. Pour $b$ suffisamment proche de $b_{crit}$, le photon peut effectuer plusieurs tours autour du trou noir avant de s'échapper vers l'infini.

Un photon émis depuis l’horizon des évènements d'un trou noir ($r=Rs$) peut donc s’en libérer à la condition $b<b_{crit}$ soit une latitude d'émission $>L_{crit}$.

Note : pour une même valeur de $b$, la géodésique du photon est identique à celle vue précédemment (arrivée depuis l'infini et impact sur l'objet massif) mais parcourue dans l'autre sens (figure D).

Apparence d'un trou noir :

Par définition, il n'est pas possible de voir un trou noir. Cependant, dans le cas d'un trou noir stellaire avec des disques d'accrétion, la lumière émise par ces disques suivra les règles vues ci-dessus et un exemple d'image apparente est donné en figure G.

"Le chapeau" correspond aux photons passant "au-dessus" du trou noir et "les cheveux et le collier" correspondent aux photons passant "en-dessous".

Le rayon apparent du trou noir est $b_{crit}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs$ puisqu'aucun photon de paramètre d’impact $b<b_{crit}$ ne peut parvenir à l’observateur.

4. CONCLUSION

La mécanique classique ne permet pas de prédire le comportement des photons placés dans un champ gravitationnel intense créé par un objet massif. Dans le cadre de la relativité générale, la métrique et les coordonnées de Schwarzschild sont une première approche avec cependant des limites pour :

- l’étude des cas astrophysiques, la grande majorité des objets étant en rotation et par conséquent non sphériques,

- l’étude des trous noirs eux-mêmes, le rayon de Schwarzschild étant une barrière immatérielle liée au système de coordonnées utilisé,

limites qu'il est possible de dépasser avec la métrique de Kerr et le système de coordonnées d’Eddington-Finkelstein dites 3+1.

En synthèse, la relativité générale explique le mieux à l’heure actuelle les phénomènes observés sur la déviation de la lumière par les objets massifs, et a mis en évidence d’autres phénomènes tel que le décalage de fréquence de la lumière des étoiles vers le rouge pour un observateur terrestre, l’effet Shapiro (retard de la lumière) qui peut permettre d'estimer la masse de corps célestes situés à de très grandes distances du système solaire, ou encore le décalage d'horloge des satellites qu'il est nécessaire de corriger pour obtenir la précision GPS.

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