Utilisateur:Biajojo/Dépôt : dynamique holomorphe

Théorie locale

L'étude locale se fait au voisinage des points périodiques de $f$. Pour un tel point $z_{0}$, il existe donc un entier naturel positif $p$ tel que $f^{\circ p}(z_{0})=z_{0}$. L'ensemble des images par $f$ de ce point, qui est un ensemble fini à $p$ éléments $\{z_{0},z_{1},\dots ,z_{p-1}\}$ sur lequel $f$ agit en tant qu'incrémentation d'indice modulo $p$ (i.e. $f(x_{k})=x_{(k+1)\mod \,p}$), est appelé un cycle périodique de $f$.

La dérivée de $f^{\circ p}$ en un point du cycle périodique $\{z_{0},z_{1},\dots ,z_{p-1}\}$ ne dépend ni point du cycle ni des cartes dans lesquelles elle est calculée. On définit le multiplicateur d'un cycle périodique comme étant la valeur $\rho =(f^{\circ p})'(z_{0})$ de cette dérivée. Lorsque ce calcul peut se faire sur une seule carte on a $\rho =f'(z_{0})f'(z_{1})\cdots f'(z_{p-1})$.

C'est de la valeur de $\rho$ qu'on va déduire ce qu'il se passe au voisinage des points $z_{i}$. L'idée principale est que l'on peut localement substituer à $f^{\circ p}$ le début de son développement :

$f^{\circ p}(z_{0}+z)=z_{0}+\rho z+\dots$,

ou, si $\rho =0$ :

$f^{\circ p}(z_{0}+z)=z_{0}+a_{q}z^{q}+\dots$,

avec $a_{q}\neq 0$.

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