Utilisateur:Aurore1.0/Brouillon

Ryoga je comprends mal que vous défendiez le chapitre des chaînes de Markov par crainte de laisser un vide car ce chapitre n'est qu'un TI imaginé par Gay. Quand on entend Dimorphoteca crier au "règles à respecter" alors que c'est lui qui a introduit ce TI on est en droit de se poser des questions. Gay n'a aucun titre ni publication à faire valoir pour être considéré ici, c'est un obscur électricien ayant fait carrière à France-Télécom et le présenter comme un mathématicien de référence est tout simplement une imposture--~~~~.

Version du 17 janvier 2015 à 13:06 Gome2: Markoff

Version du 12 mars 2015 à 19:24 Cad R13 (créé à 19:20): urnes Gay

Gome 2  13 janvier 2015 à 20:28: Markoff

Version du 3 octobre 2014 à 09:28 Pernox34: urnes gay

Le paradoxe de la Belle au bois dormant est apparu en 2000 dans un article du philosophe américain Adam Elga où il décrit une expérience proposée à la princesse que nous nommerons Belle.

L'énoncé

Dimanche soir on lance une pièce dont les résultats {Pile, Face} sont équiprobables et Belle s’endort sans connaître ce résultat. Le lundi on réveille Belle et on lui pose la question « A quel degré devez-vous croire que la pièce est tombée sur Face le dimanche soir ? » puis Belle est rendormie après avoir pris une drogue qui lui fera oublier qu’elle a été réveillée. Si la pièce est tombée sur Pile le dimanche soir on réveille de nouveau Belle le mardi, on lui pose la même question et on lui donne la même drogue; si la pièce est tombée sur Face Belle n’est pas réveillée le mardi. Le mercredi on réveille Belle pour lui annoncer que l’expérience est terminée. Qu’elle doit être sa réponse à chaque question ?

Il a été quelquefois suggéré que la question posée à Belle était ambiguë et que la formulation « A quel degré devez-vous croire la pièce est tombée sur Face le dimanche soir ? » faisait référence à une obscure « probabilité subjective ». Cette notion n’est pas retenue ici pour résoudre le paradoxe et nous considérons que la question posée à Belle est équivalente à la formulation plus précise « A votre avis quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur Face le dimanche soir ? »

Un premier paradoxe

. Elga dans son article propose deux réponses. Pour la première il admet que Belle, connaissant les probabilités (1/2, 1/2) de (Pile, Face) du dimanche et ne disposant à son réveil d’aucune information lui permettant de modifier cette probabilité, ne peut pas changer cette estimation. Cet argument, appelé «démiste», paraît irréfutable. Pourtant c’est une autre réponse, appelée «tiériste», qui a la faveur du philosophe comme de la plupart des contributeurs à l’étude du problème, créant ainsi le paradoxe. L’argument tiériste repose sur la répétition de l’expérience. Il est immédiat que le nombre de réveils en cas de Pile est en moyenne deux fois le nombre de réveils qu'en cas de Face. Ainsi à chaque réveil Belle doit évaluer la probabilité de Pile à deux fois la probabilité de Face ce qui conduit aux probabilités Pr(Pile) = 2/3 et Pr(Face) = 1/3. Cet argument paraît tout aussi irréfutable que l’argument démiste

Un second paradoxe

Ce second paradoxe apparaît lorsque Belle prend en compte la situation par rapport au jour et au côté de la pièce dans laquelle elle peut se trouver lors d'un réveil. Il y a trois possibilités: Lundi-Pile, Lundi-Face et Mardi-Pile. Belle n'a aucune raison de privilégieri

Cependant les tiéristes, peut-être par manque de confiance dans cet argument, en propose un autre. Cet autre argument utilise l’ensemble des réveils possibles Pile-Lundi, Face-Lundi et Pile-Mardi de Belle au cours de l’expérience, que nous noterons E ={P1, F1, P2}. Aucune de ces trois éventualités, d’après les tieristes, ne peut être privilégiée donc, en application du principe d’indifférence on a Pr(P1) = Pr(F1) = Pr(P2) = 1/3. En remarquant que Pr(Pile) = Pr(P1) + Pr(P2) on obtient encore Pr(Pile) = 2/3 et Pr(Face) = 1 - Pr(Pile) = 1/3. Mais ce raisonnement repose sur le choix au hasard d'un des réveils possibles de l’expérience or Belle est évidemment dans l’impossibilité d’opérer un tel choix et par conséquent ne peut pas utiliser ce raisonnement.

P(p1) = P(p2) = 1/4

P(p2) = 1 - P(f1) => E n'est pas un espace de probabilité

Pour invalider sans équivoque cet argument qui revient sous la plume des tieristes avec des présentations différentes il faut utiliser un peu de technique

Il ne reste plus aux tieristes pour appuyer leur thèse que l’argument de la répétition de l’expérience, cette répétition générant une suite de (Pile, Face) dans laquelle les Pile sont deux fois plus nombreux que les Face ce qui accrédite les probabilités (2/3, 1/3) de (Pile, Face). Cet argument leur semble déterminant puisqu’en plus d’accréditer leur thèse il invalide aussi l’argument demiste pour lequel la suite générée comporterait autant de Pile que de Face, ce qui est manifestement faux. L’argument est très fort et semble suffisant pour donner raison aux tieristes. Mais l’argument souffre d’un défaut passé inaperçu : cette suite présente effectivement des Pile et Face dans la proportion de (2/3, 1/3) ce qui est une condition nécessaire pour être une suite générée par des probabilités (2/3, 1/3) mais ce n’est absolument pas une condition suffisante. En particulier une suite générée par les probabilités (2/3, 1/3) doit satisfaire d’autres conditions que cette proportion des (Pile, Face), par exemple tous les couples possibles (Pile, Pile), (Pile, Face), (Face, Pile) et (Face, Face) doivent y apparaître, ce qui est bien le cas, mais aussi tous les triplets formés à partir de Pile et Face devraient aussi y apparaître ce qui n’est pas la cas puisque la suite générée par les réveils de Belle ne contient pas le triplet (Pile, Face, Pile). Ainsi l’argument qui a permis aux tiéristes d’éliminer la solution démiste se retourne contre eux et invalide du même coup  leur propre solution.

Ainsi demistes et tieristes se retrouvent dos à dos. La question posée à Belle où il lui est demandé de donner la probabilité de Face est un piège, dans lequel sont tombés les auteurs de publications sur le paradoxe depuis quinze ans, puisqu’aucune probabilité ne peut valablement répondre à cette question. Le paradoxe n’est pourtant résolu qu’en partie, il reste à découvrir la mystérieuse information dont dispose Belle qui fait que l’estimation (1/2, 1/2) des probabilités de (Pile, Face) à chaque réveil est fausse et, ce qui revient au même comme nous allons le voir, quelle doit-être la réponse de Belle. Voici le raisonnement correct de Belle. Lors de l'expérience une et une seule des deux éventualités P1 ou F1 est réalisée donc Pr(P1)=1-Pr(F1). De même une et une seule des deux éventualités P2 et F1 est réalisée donc Pr(P2)=1-Pr(F1). Ainsi Les probabilités de (P1,F1,P2) ne peuvent être que (1/2,1/2,1/2), (1,0,1) ou (0,1,0). Le premier cas est la thèse demiste déjà réfutée donc il ne reste que le cas (1,0,1) qui correspond aux deux réveils Pile et (0,1,0) qui correspond au réveil Face. Proposons à Belle de participer à la même expérience mais sans drogue ni perte de mémoire, autrement dit Belle sait à chaque réveil si on est lundi ou mardi. Avec ce protocole il semble évident que lundi Belle doit estimer les probabilités de (Pile, Face) à (1/2, 1/2) et le mardi à (1, 0) s’il y a lieu. Soient L1 le résultat du lancer de la pièce du dimanche et L2 le choix de Belle du lundi. La suite engendrée par L1 et L2 se compose ainsi : (L1 = P, L2 = P) ajoute (Pile, Pile) à la suite, (L1 = P, L2 = F) ajoute (Face, Pile), (L1 = F, L2 = P) ajoute un Pile et (L1 = F, L2 = F) un Face. Ainsi cette suite est constituée de PP, FP, P et F chacun avec la probabilité ¼. Cette suite, générée par un processus aléatoire, présente deux fois plus de Pile que de Face, elle est donc identique à la suite générée en utilisant les probabilités (2/3, 1/3) des tieristes ce qui est en contradiction avec la suite effectivement obtenue lors des réveils de Belle comme nous l’avons déjà démontré. Ainsi, en dépit de son apparente évidence, l’estimation des probabilités (1/2, 1/2) pour le réveil du lundi est fausse.

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Si Belle sait que le réveil est un lundi elle estime la probabilité que la pièce soit tombée sur Pile à 1/2. On peut donc faire une simulation. Dimanche on lance la première pièce (qui conditionne le réveil du mardi) et lundi Belle lance sa propre pièce. Avec ce protocole (le ou) les réveils possibles à chaque expérience sont PP, PF, P et F, chaque cas ayant la probabilité 1/4. La répétition de l'expérience génère une suite aléatoire (car issue de lancers de pièce) dans laquelle les P sont deux fois plus nombreux que les F ce qui prouve que pour tous les réveils (pas seulement pour un réveil choisi au hasard parmi les 3 réveils possibles) les probabilités de (P,F) sont (2/3,1/3). Après cette simulation (par la pensée) Belle peut donc affirmer qu'elle est tieriste.http://www.societe-informatique-de-france.fr/wp-content/uploads/2014/05/1024-3-delahaye.pdf

Delahaye "une suite est aléatoire si elle est imprévisible — aucun système de pari algorithmique ne gagne contre elle"

Pour Fransceschi la notation (I) désigne la thèse du démiste Lewis et (II) désigne celle du tiériste Elga "(...) la probabilité que la Belle au bois dormant soit réveillée le lundi P(H3) est égale à 1*0,5+0,5*0,5 = 0,75. Et de même la probabilité que la Belle au bois dormant soit réveillée le mardi P(H4) est égale à 1 - P(H3) = 0,25. Il s'agit là d'une application conditionnelle du modèle à majoration qui se révèle correcte. Ceci éclaire en revanche comment le raisonnement (II) est incorrect car il conduit à une application inconditionnelle du modèle à majoration. Le raisonnement (I) prévaut on a ainsi P(H1) = P(H2) = 0,5"