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Snark double étoile

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Snark double étoile
Image illustrative de l’article Snark double étoile
Représentation du snark double étoile

Nombre de sommets 30
Nombre d'arêtes 45
Distribution des degrés 3-régulier
Rayon 4
Diamètre 4
Maille 6
Automorphismes 80
Nombre chromatique 3
Indice chromatique 4
Propriétés Régulier
Snark
Hypohamiltonien

Le snark double étoile est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 30 sommets et 45 arêtes.

En 1975, Isaacs introduit deux familles infinies de snarks, les deux premières découvertes : les snarks fleurs et les snarks BDS, une famille qui comprend tous les snarks jusqu'alors connus : le graphe de Petersen, le premier snark de Blanuša, le second snark de Blanuša, le snark de Descartes et le snark de Szekeres (BDS est l'abréviation pour Blanuša Descartes Szekeres)[1]. Isaacs découvre au passage une snark à 30 sommets qui n'appartient pas à la famille BSD et qui n'est pas non plus un snark fleur. Il le nomme le snark double étoile.

Propriétés

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Propriétés générales

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Le diamètre du snark double étoile, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Le nombre chromatique du snark double étoile est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du snark double étoile est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

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Le groupe d'automorphismes du snark double étoile est un groupe d'ordre 80.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du snark double étoile est : .

Liens internes

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Liens externes

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Références

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  1. (en) R. Isaacs, « Infinite families of non-trivial trivalent graphs which are not Tait-colorable », American Mathematical Monthly, vol. 82,‎ , p. 221–239 (DOI 10.2307/2319844)