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S-matrice (mathématiques)

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En mathématiques, une S-matrice est une matrice carrée réelle dont l'image de l'orthant positif intersecte l'intérieur de cet orthant. Ces matrices apportent des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire.

Définitions

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Les propriétés équivalentes pouvant servir de définition aux S-matrices requièrent que l'on précise quelques notations et rappelle la définition d'un problème de complémentarité linéaire.

  • Pour un vecteur , la notation signifie que toutes les composantes du vecteur sont positives et la notation signifie que toutes les composantes du vecteur sont strictement positives.
  • Étant donnés une matrice réelle carrée d'ordre et un vecteur , un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur tel que , et (ce qui revient à dire que le produit de Hadamard de et est nul), ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :



S-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle est une S-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

  1. il existe un tel que ,
  2. il existe un tel que ,
  3. , le problème est réalisable.

On note l'ensemble des S-matrices d'ordre quelconque. On appelle S-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à

La lettre S renvoie à Stiemke[1].

  1. Cottle, Pang et Stone (2009), page 140.

Article connexe

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Bibliographie

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  • (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang et R. E. Stone, « The linear complementarity problem », Classics in Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, SIAM, vol. 60,‎ .