Relation d'Euler dans le quadrilatère

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

La relation d'Euler dans le quadrilatère, découverte par Leonhard Euler en 1748, est une relation entre les longueurs des côtés d'un quadrilatère et celles de ses diagonales. C'est une généralisation de l'égalité du parallélogramme.

Énoncé et application

Dans un quadrilatère plan $ABCD$ de côtés de longueurs $AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$, de diagonales de longueurs $AC=e$ et $BD=f$, $g=MN$ étant la distance entre les milieux des deux diagonales, la relation d'Euler s'écrit :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

On peut démontrer cette relation en utilisant la relation d'Al Kashi dans des triangles formés par les côtés et les diagonales de parallélogrammes auxiliaires.

Le quadrilatère étant un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu, autrement dit si et seulement si $g=0$, on obtient le fait qu'un quadrilatère convexe est un parallélogramme si et seulement si la somme des carrés des longueurs de ses côtés est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales, ce qui généralise la règle du parallélogramme.

Généralisation et démonstration vectorielle

La relation ci-dessus est en fait valable pour tout quadruplet $(A,B,C,D)$ de points d'un espace affine euclidien, donc éventuellement non coplanaires, en l'écrivant sous la forme :

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4MN^{2}$

où $M{\text{ et }}N$ sont les milieux de $[AC]$ et $[BD]$.

Si l'on pose ${\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {BC}},{\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {CD}}$, alors ${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}}$ et $2{\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OD}}-({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}})={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {c}}$ ; la relation d'Euler s'écrit donc :

${\overrightarrow {a}}^{2}+{\overrightarrow {b}}^{2}+{\overrightarrow {c}}^{2}+({\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})^{2}=({\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}})^{2}+({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})^{2}+({\overrightarrow {c}}+{\overrightarrow {a}})^{2}$

ce qui se montre facilement en développant.

Voir aussi

• Quadrilatère
• Égalité du parallélogramme
• Formule de Bretschneider
• Liste de sujets portant le nom d'Euler

Lien externe

• Eric W. Weisstein, "Quadrilateral" ; MathWorld.