Groupe de Schützenberger

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En algèbre générale, et notamment en théorie des demi-groupes, le groupe de Schützenberger est un groupe associé à une -classe, au sens des relations de Green d'un demi-groupe. Les groupes de Schützenberger de deux -classes d'une même -classe sont isomorphes. Si une -classe est un groupe, le groupe de Schützenberger de cette -classe est isomorphe à cette classe.

Il y a en fait deux groupes de Schützenberger associés à une -classe donnée; ils sont anti-isomorphes l'un de l'autre.

Les groupes de Schützenberger ont été décrits par Marcel-Paul Schützenberger en 1957[1]. Ils ont été nommés ainsi dans le livre de Alfred H. Clifford et Gordon Preston[2],[3].

Le groupe de Schützenberger[modifier | modifier le code]

Soit un demi-groupe. On définit comme étant égal à si est un monoïde, sinon égal à , où est un élément neutre ajouté, donc vérifiant pour tout de .

La relation de Green est définie comme suit. Soient et deux éléments de . Alors

si et seulement s'il existe dans tels que et .

La -classe d'un élément est notée . C'est l'ensemble des éléments de tels que .

Soit une -classe de . Soit l’ensemble des éléments de tels que est un sous-ensemble de . Chaque de définit une transformation, notée de dans lui-même qui envoie un élément sur  :

.

L'ensemble de ces transformations est en fait un groupe pour la composition des fonctions, considérées comme opérant à droite (). C'est le groupe de Schützenberger associé à la -classe . L'autre groupe de Schützenberger est le groupe des multiplications à droite .

Exemples[modifier | modifier le code]

Toute -classe a la même cardinalité que son groupe de Schützenberger . Si est un sous-groupe maximal d'un monoïde , alors est une -classe et est canoniquement isomorphe à son groupe de Schützenberger.

Applications[modifier | modifier le code]

Un certain nombre de propriétés algébriques des monoïdes se reflètent dans leur groupe de Schützenberger. Ainsi, un monoïde qui a un nombre fini d'idéaux à gauche et à droite est finiment présenté, ou simplement finiment engendré si et seulement si tous ses groupes de Schützenberger le sont.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Marcel-Paul Schützenberger, « D-représentation des demi-groupes », Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences, vol. 244,‎ , p. 1994–1996 (lire en ligne)
  2. (en) A. H. Clifford et G. B. Preston, The algebraic theory of semigroups, vol. I, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys » (no 7), , xv+224 p.
  3. Voir aussi (en)Herbert Wilf et al., « In memorium: Marcel-Paul Schützenberger (1920–1996) », The Electronical Journal of Combinatorics,‎

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schutzenberger group » (voir la liste des auteurs).