Fonction C∞ à support compact

Représentation graphique d'une fonction C^∞ à support compact à deux variables.

En mathématiques, une fonction C^∞ à support compact est une fonction infiniment dérivable dont le support est compact. Lorsque la fonction va de ℝⁿ dans ℝ, l'espace de ces fonctions est noté C^∞
_c(ℝⁿ), C^∞
₀(ℝⁿ) ou 𝒟(ℝⁿ).

Exemples

Graphe de la fonction Ψ.

La fonction d'une variable $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par

$\Psi (x)={\begin{cases}{\rm {e}}^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ si }}|x|<1\\0&{\mbox{ sinon}}\end{cases}}$

est à support compact. La preuve qu'elle est infiniment dérivable peut se faire par récurrence. Par ailleurs, la fonction peut être vue comme la fonction gaussienne e^–y2 qu'on a « fait rentrer dans le disque unité » par le changement de variables y² = 1/(1 – x²) qui envoie x = ±1 sur y = ∞.

Un exemple simple de fonction C^∞ à support compact à n variables est obtenu en prenant le produit de n copies de la fonction à une variable ci-dessus :

$\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).$

Propriétés et applications

Une fonction C^∞ à support compact ne peut pas être analytique, à moins d'être identiquement nulle. C'est une conséquence directe du théorème d'identité. L'espace des fonctions C^∞ à support compact est stable par de nombreuses opérations. Par exemple, la somme, le produit, le produit de convolution de deux fonctions C^∞ à support compact est encore une fonction C^∞ à support compact.

Les fonctions C^∞ à support compact sont utilisées pour construire des suites régularisantes et des partitions de l'unité de classe C^∞.

Elles sont également au cœur de la théorie des distributions.

Voir aussi

Article connexe

Fonction régulière non analytique

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bump function » (voir la liste des auteurs).