Discussion utilisateur:Ninho

Bienvenue dans mon petit monde !

Bonjour ! Pas grand chose à voir par ici, je le crains; il faudra que je songe à faire de cette page quelque chose de plus joli... en attendant, voici un résultat de théorie des nombres (élémentaire mais qu'on trouvera peut-être plaisant), un exercice auto-assigné dans le but de me remuer les méninges. Venant d'un simple amateur et pas des plus actifs, ceci n'est ni publié ni soumis à revue - mais votre commentaire s'il vous plaît est bienvenu! D'un autre côté, la démonstration est courte et assez simple pour être lue et vérifiée sans effort excessif par toute personne intéressée : j'espère n'avoir pas laissé passer d'erreur dont j'eusse à rougir... mais après tout les amateurs sont juste des amateurs, il faut s'attendre de leur part à un peu... d'amateurisme. Je saurai apprécier toute critique formulée poliment.

Note : J'ai esquissé les paragraphes ci-dessous, initialement en anglais, dans l'intention de proposer le problème au responsable d'un site de puzzles mathématiques consacrés aux nombres premiers <www.primepuzzles.net> Ne parvenant à contacter celui-ci, je donnerai ici le résultat et sa démonstration tels que je les avais préparés pour un courrier électronique : ceci pour en expliquer la forme un peu trop concise, mais aussi bien ne fais-je pas au lecteur l'offense de sembler le prendre pour un petit enfant...

Enfin j'ignore totalement si le résultat s'étend aux nombres de Carmichaël ayant plus de trois facteurs premiers. Si vous en savez davantage, cette page de discussion vous est grande ouverte !

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Proposition : Il n'existe pas de nombre de Carmichaël composé de trois facteurs premiers dont deux soient des premiers jumeaux.

Pour la démonstration nous allons supposer qu'un tel nombre existe et réduire ad absurdum.

Soient p, p+2, r trois nombres premiers impairs dont le produit est un nombre de Carmichael. Nous ne supposons pas a priori que r est supérieur à p ou inversement; nous allons bientôt découvrir ce qu'il en est.

Les conditions de Korselt bien connues deviennent ici :

• p-1 | (p+2)r-1
• p+1 | p.r-1
• r-1 | p(p+2)-1

Nous n'aurons pas même à utiliser la première condition; la seconde entraîne :

• p+1 | r+1 d'où p<r (comme annoncé), ainsi 2 < p < p+2 < r

Maintenant soit k le diviseur implicite dans la troisième relation de Korselt : on a la relation bien connue 2 ≤ k < p (conséquence aisée de l'inégalité ci-dessus)

Réécrivant la troisème relation de Korselt sous la forme d'une équation tenant compte de k on obtient :

k(r+1) = (p+1)² +2k -2

et puisque p+1 divise r+1 il faut qu'il divise la quantité positive : 2k-2. Mais ce dernier nombre étant inférieur à 2p, le rapport entier (2k-2)/(p+1) doit être égal à l'unité; en d'autres termes : 2k = p+3.

Rassemblant les morceaux, la troisième relation de Korselt devient :

r+1 = 2.(p+1)(p+2)/(p+3) ,

absurde puisque le membre de droite ne saurait être entier lorsque p>1.

La proposition s'ensuit. CQFD.