Discussion:Problème des rencontres

Expression sous forme intégrale

Bonjour,

En lisant l'article, j'ai, entre autres, buté sur l'expression intégrale de $p_{n}$, la probabilité qu'aucun chapeau ne soit à sa place, indiqué dans le § Notion de sous-factorielle comme étant : $p_{n}={\frac {1}{\mathrm {e} }}+{\frac {(-1)^{n}}{\mathrm {e} .n!}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{t}t^{n}\,\mathrm {d} t$, en présentant l'expression de $d_{n}=n!p_{n}=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}(t-1)^{n}\,\mathrm {d} t$

Il y a un début de démonstration mais sur lequel j'avais des doutes (peut-être infondés). Mais cela indique simplement que le mieux serait de sourcer cette expression intégrale. Dans mon survol parmi les sources citées dans les références, je n'ai pas réussi à trouver une telle expression. Je profite ainsi de ce msg en discussion pour recueillir un plus large avis :

• si des personnes sauraient plus aisément avec quel ouvrage pourrait-on sourcer cette expression ?
• si mes doutes sont fondés ou non ?

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Pour compléter mon msg par de multiples TIs, je rajoute tout de même qu'il semble y avoir une expression faisant intervenir la fonction gamma dans l'article de l'OEIS, une expression concernant la sous-factorielle $!n$ (rappel des notations de l'article WP $!n{=}d_{n}{=}n!\cdot p_{n}$) : $!n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}$ où $\Gamma (z,a)$ serait la fonction gamma incomplète. Bien que l'article fr ne soit pas clair, je comprends de l'article en que cela peut désigner principalement 2 fonctions gammas incomplètes : une upper et une lower, resp. $\Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,$ et $\gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt$. Ce qui conduirait, selon l'article OEIS, à des expressions de $!n={\frac {1}{e}}\int _{-1}^{\infty }t^{n}\,e^{-t}\,\mathrm {d} t$ ou $!n={\frac {1}{e}}\int _{0}^{-1}t^{n}\,e^{-t}\,dt$. Mais au premier abord, cela ne semble pas correspondre à l'une ou l'autre formule de la section actuelle de WP ah si, la upper confirmera la 1re expression de l'article WP (ce qui serait logique d'après les notations), après un CV $t'\leftarrow t-1$.

Par ailleurs, pour expliciter mes doutes et éventuellement faciliter la discussion sur ces points, encore des TIs (uniquement pour la discussion). Je m'interrogeais sur la dernière égalité et le terme k=0 manquant dans la formule du binôme, mais finalement en relisant, il n'est pas manquant, il proviendrait d'une erreur au début de l'égalité qui devrait faire partir la somme de k=0.. Autrement, pour apporter un éclairage, j'imagine que le changement de variable est $t'\leftarrow 1-t$, soit

$$d_{n}=n!p_{n}=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}(t-1)^{n}\,\mathrm {d} t=\int _{1}^{-\infty }\mathrm {e} ^{t'-1}(-t')^{n}\,(\mathrm {-d} t')={\frac {(-1)^{n}}{e}}\int _{-\infty }^{1}\mathrm {e} ^{t}t^{n}\,\mathrm {d} t.$$

Puis $d_{n}={\frac {1}{e}}(-1)^{n}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {e} ^{t}t^{n}\,\mathrm {d} t+{\frac {(-1)^{n}}{e}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{t}t^{n}\,\mathrm {d} t$. Et là s'arrête mon incompétence, je ne saurais pas dire si $(-1)^{n}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {e} ^{t}t^{n}\,\mathrm {d} t{\stackrel {?}{=}}n!$, auquel cas toute cette discussion serait un peu vaine et inutile s'il n'y a en réalité aucun problème, puisqu'au terme de toute ces divagations, c'est le seul doute qui subsiste chez moi (outre l'absence de source/référence).

À vous lire. Curios7ty (discuter) 23 avril 2022 à 23:46 (CEST)

Pour la dernière interrogation, changer t en -t. Robert FERREOL (discuter) 24 avril 2022 à 16:41 (CEST)

Bonjour @Robert FERREOL, merci pour votre réponse.

Effectivement, j'avais changé t en -t, mais j'ai l'impression d'obtenir

$(-1)^{n}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {e} ^{t}t^{n}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}t^{n}\,\mathrm {d} t$ et effectivement, comme je ne retrouvais pas le $z-1$, j'ai pensé que ça ne correspondait pas. Mais effectivement, j'avais oublié que l'expression était $\Gamma (n+1)=n!$. De fait, toute cette section est nulle et non avenue, désolé.

Merci pour vos compléments et la référence. (je regrette peut-être simplement le retrait des liens interne vers la section Généralisation et la fonction gamma).

Curios7ty (discuter) 24 avril 2022 à 20:02 (CEST)

dsl, j'ai remis le lien Robert FERREOL (discuter) 25 avril 2022 à 11:29 (CEST)