Demi-groupe 3x+1

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En algèbre et en arithmétique, le demi-groupe 3x + 1 est un sous-demi-groupe particulier du demi-groupe des nombres rationnels positifs[1]. Les éléments d'un ensemble de générateurs de ce demi-groupe sont liés à la suite de nombres intervenant dans la conjecture connue sous le nom de conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz ou encore conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3x+1. Le demi-groupe 3x + 1 a été utilisé pour démontrer une forme faible de la conjecture de Collatz, et a été en fait introduit à ce propos par Hershel Farkas en 2005[2]. Diverses généralisations du demi-groupe 3x + 1  ont ensuite été construites et étudiées[3].

Définition[modifier | modifier le code]

Le demi-groupe 3x + 1 est le demi-groupe multiplicatif de nombres rationnels positifs engendré par les nombres rationnels

qui sont, en plus de l’entier 2, les nombres de la forme

pour .

Ce demi-groupe est relié à la fonction des entiers relatifs définie par

La conjecture de Syracuse affirme que, pour chaque entier positif n, une certaine itérée de la fonction T envoie n sur 1 ou, en d'autre termes, que pour un certain entier k. Par exemple, si n = 7, alors les valeurs de T(k)(n) pour k = 1, 2, 3, . . . sont 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 et T(11)(7) = 1.

Le demi-groupe 3x + 1 est relié à la conjecture de Collatz par le fait qu'il est engendré par les fractions

pour , puisque et .

La conjecture de Collatz faible[modifier | modifier le code]

Notons S le demi-groupe 3x + 1. La conjecture de Collatz faible, énoncée par Farkas, affirme que le demi-groupe S contient tous les entiers positif. Le demi-groupe S a la propriété que si T(n) est dans S, alors n est dans S, parce que chaque n/T(n) est un générateur de S. Il en résulte que si un itéré de T(n) est égal à 1, alors n est dans S. Ainsi, la conjecture de Syracuse implique la conjecture faible. La conjecture faible a été démontrée par Applegate et Lagarias[1]. Elle est une conséquence de la propriété suivante du demi-groupe S : Le demi-groupe S est constitué de l'ensemble des nombres rationnels positifs a/b, avec a et b premiers entre eux, tels que b ≠ 0 (mod 3). En particulier, ce demi-groupe contient tous les entiers positifs.

Le  demi-groupe sauvage (« wild semigroup »)[modifier | modifier le code]

Le demi-groupe engendré par l’ensemble des fractions T(n)/n ou, de manière équivalente, par 1/2 et les nombres

pour

est appelé le demi-groupe sauvage (« wild semigroup » en anglais). Par le théorème d'Applegate et Lagarias, il est formé des entiers m tels que m ≠ 0 (mod 3). C'était la « Wild Numbers Conjecture »[4], maintenant démontrée.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b David Applegate et Jeffrey C. Lagarias, « The 3 x +1 semigroup », Journal of Number Theory, vol. 117, no 1,‎ , p. 146–159 (DOI 10.1016/j.jnt.2005.06.010, lire en ligne, consulté le 17 mars 2016)
  2. Hershel M. Farkas, « Variants of the 3 N + 1 conjecture and multiplicative semigroups », dans Geometry, Spectral Theory, Groups and Dynamics : Proceedings in Memory of Robert Brooks, Amer. Math. Soc., coll. « Contemp. Math. » (no 387), (Math Reviews 2179790), p. 121-127
  3. Ana Caraiani, « Multiplicative Semigroups Related to the 3x+1 Problem », Princeton University (consulté le 17 mars 2016).
  4. Jeffrey C. Lagarias, « Wild and Wooley numbers », American Mathematical Monthly, vol. 113, no 2,‎ , p. 97-108 (lire en ligne, consulté le 18 mars 2016).