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Chaîne de Pappus

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Une chaîne de Pappus. Les centres sont sur une ellipse, les points de contact, sur un cercle.

En géométrie, une chaîne de Pappus est un anneau de cercles situés entre deux cercles tangents intérieurement. Cette configuration a été étudiée par Pappus d'Alexandrie au IIIe siècle apr. J.-C.[1]

Construction

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On se donne un arbelos, défini par deux cercles et tangents en un point , intérieur à . Notons , , les rayons de ces deux cercles, , , leurs centres respectifs, , leurs diamètres. La chaîne de Pappus se compose d'une infinité de cercles situés dans l'arbelos (région grise ombragée dans la figure), extérieurement tangents à et intérieurement tangents à  ; ces cercles sont successivement tangents extérieurement, en partant du cercle de diamètre considéré comme le cercle d'indice 0.

Propriétés

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Le rayon, le diamètre et le centre du cercle d'indice n de la chaîne de Pappus supérieure sont notés respectivement , et .

Arbelos et centre des cercles

Situation des centres des cercles

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Les centres des cercles de la chaîne de Pappus sont situés sur une ellipse de grand axe , et de petit axe . En effet, la somme des distances du cercle d'indice n de la chaîne de Pappus aux deux centres et des cercles de l'arbelos est constante :

Les foyers de cette ellipse sont donc et , centres des deux cercles de l'arbelos.

Rayons et courbures des cercles de la chaîne.

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Notons la courbure du cercle d'indice de la chaîne.

On a la relation de récurrence double [2],

laquelle permet d'obtenir :

.

Chaine de Pappus avec indication des courbures

On peut remarquer que si est entier et , toutes les courbures sont entières. Par exemple, pour , , voir la suite suite A059100 de l'OEIS.

Coordonnées des centres

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Dans un repère orthonormé d'origine et de premier axe , le centre du cercle d'indice n de la chaîne a pour coordonnées :

Sous une inversion particulière centrée en , les quatre cercles initiaux de la chaîne de Pappus se transforment en un empilement de quatre cercles de même taille, pris en sandwich entre deux droites parallèles. Cela explique la formule de hauteur et le fait que les points de contact sont cocycliques.

Hauteurs des centres

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La hauteur du centre du cercle d'indice n au-dessus de la base est égale à n fois le diamètre (théorème connu de Pappus)[1], comme on le voit sur les formules précédentes[3],[4].

Ceci peut être montré en utilisant l'image par une inversion d'un cercle centré au point de contact . Le cercle d'inversion est choisi de sorte à couper perpendiculairement le cercle d'indice n : ce cercle se transforme ainsi en lui-même. Les deux cercles et de l'arbelos sont transformés en deux droites parallèles prenant en sandwich le cercle d'indice n ; par conséquent, les autres cercles de la chaîne de Pappus sont transformés en des cercles pris en sandwich par les mêmes droites. Le cercle initial et le cercle final contribuent chacun pour à la hauteur , tandis que les cercles de à contribuent chacun pour . L'addition de ces contributions donne la relation .

La même inversion peut être utilisée pour montrer que les points de contact mutuels de la chaîne de Pappus sont situés sur un cercle. Comme indiqué ci-dessus, l'inversion centrée au point transforme les cercles de l'arbelos et en deux droites parallèles, et les cercles de la chaîne Pappus en une pile de cercles de mêeme taille égale pris en sandwich entre les deux droites parallèles. Par conséquent, les points de contact entre les cercles transformés se situent sur une droite à mi-chemin entre les deux parallèles. Et ré-effectuant l'inversion, cette droite de points de contact se transforme en un cercle.

Planche tirée du livre de Jacques Ozanam. Énoncé du problème : étant donné, sur une même ligne droite, deux demi-cercles qui se touchent en dedans, décrire un cercle qui touche la ligne droite et les circonférences des deux demi-cercles donnés.

On peut construire une chaîne de Pappus en partant d'un cercle quelconque tangent aux deux cercles de l'arbelos, en particulier celui où le cercle initial est tangent à . C'est le cas par exemple dans le problème XXXIV posé par Jacques Ozanam en 1696 (voir ci-contre)[5], ou dans un sangaku de 1818[6].

Dans ce cas, le rayon de vaut et le rayon du cercle d'indice n est égal à [6],[7],[8].

Notes et références

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  1. a et b Pappus d'Alexandrie (trad. Paul ver Eecke), Collection mathématique, Blanchard, (lire en ligne), p. 177
  2. (en) Roger Cuculière, William J. Gilbert, « Area of a chain of circles », The American Mathematical Monthly, vol. 94, No. 6,‎ june - july 1987, p. 550-552 (lire en ligne Accès libre)
  3. Ogilvy, pp. 54–55.
  4. David Wells, Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques, Eyrolles, , p. 7
  5. Jacques Ozanam, Récréations mathématiques et physiques, Paris, Jombert, (lire en ligne), p. 114 (planche 8, figure 38), 117
  6. a et b Géry Huvent, « Une chaîne de cercles », Researchgate,‎ , p. 5-6 (lire en ligne)
  7. Dominique Roux, « Les 200 premiers problèmes de l'APMEP : Énoncé 103 », Publication de l'APMEP, vol. III, "combinatoire, algèbre et analyse",‎ , p. 138-140
  8. Fabien Aoustin, « Un joli collier », Tangente, no 209,‎ , p. 39 (lire en ligne Accès payant)

Bibliographie

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  • (en) C. Stanley Ogilvy, Excursions in Geometry, Dover, (ISBN 0-486-26530-7, présentation en ligne)
  • L. Bankoff, The Mathematical Gardner, Boston, Prindle, Weber, & Schmidt, , 112–118 p., « How did Pappus do it? »
  • R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, New York, Dover Publications, , 116–117 p. (ISBN 978-0-486-46237-0)

Liens externes

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