Acoustique géométrique

L'acoustique géométrique est le pendant de l'optique géométrique et décrit les rayons acoustiques définis pour la propagation du son dans les fluides, pour lesquels l'onde progressive est longitudinale, à l'instar du rayon lumineux.

Le rayon acoustique peut être absorbé, réfléchi, réfracté et est lié à un front d'onde associé.

La notion est valide dans l'hypothèse des faibles longueurs d'onde qui permet d'assimiler localement le front d'onde à une onde plane.

Front d'onde et rayon acoustique

Propagation d'infrasons dans l'atmosphère (angle initial $10,20,30,40,50$ degrés) et front d'onde à $t=1000~s$

On peut définir un front d'onde lorsque la largeur du signal est négligeable devant sa courbure spatiale. La valeur locale du signal est alors réduite à son intensité moyenne. Ce front d'onde est défini par l'instant d'arrivée  $\tau (\mathbf {x} )$  au point  $\mathbf {x}$ . Le signal peut être décrit de manière alternative par l'ensemble des positions  $\mathbf {x} _{r}(t)$ , chacune de ces fonctions définissant un rayon de propagation. Dans un milieu qui se déplace à la vitesse  $\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )$  le front d'onde est simplement advecté et sa vitesse est :

$\mathbf {V} _{r}(\mathbf {x} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{r}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )+c_{0}(\mathbf {x} )\mathbf {n} (\mathbf {x} )$

où  $\mathbf {n}$  est la normale au front d'onde.

${\boldsymbol {\sigma }}=\nabla \tau$ est le vecteur lenteur (slowness) ou fonction eikonale défini par :

${\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {V} _{r}=1\quad \Leftrightarrow \quad c_{0}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} =1-\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} =\Omega$

Compte tenu de  ${\boldsymbol {\sigma }}=({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$  il vient :

${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathbf {n} }{c_{0}+\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} }}\,,\quad \mathbf {n} ={\frac {c_{0}{\boldsymbol {\sigma }}}{\Omega }}$

 $|{\boldsymbol {\sigma }}|^{-1}=c_{0}+\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n}$  est la vitesse normale au front d'onde, d'où le nom de vecteur lenteur.

La seconde équation ci-dessus implique l'équation eikonale :

${\boldsymbol {\sigma }}^{2}={\frac {\Omega ^{2}}{c_{0}^{2}}}$

On peut alors écrire les équations des rayons acoustiques :

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{r}}{\mathrm {d} t}}&={\frac {c_{0}^{2}{\boldsymbol {\sigma }}}{\Omega }}+\mathbf {V} _{0}\\{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\Omega }{c_{0}}}\nabla c_{0}-\nabla (\mathbf {V} _{0}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})+(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla ){\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$