Inégalité isopérimétrique

En géométrie, aussi bien en géométrie euclidienne qu'en géométrie riemannienne, on appelle inégalité isopérimétrique toute inégalité portant sur le volume (longueur, aire, volume) d'une large famille de domaines et le volume de leur frontières respectives. Dans un espace euclidien une surface d'aire S et de périmètre p vérifie l'inégalité :

$p^{2}\geq 4\pi S\;$

En dimension 3, si V désigne le volume et S la surface :

$S^{3}\geq 36\pi V^{2}\;$

Les égalités n'ayant lieu que pour les cas respectifs du disque et de la sphère. Le cas de la dimension 2 est démontré dans l'article Théorème isopérimétrique.