Conjecture d'Iliev-Sendov
La conjecture d'Iliev-Sendov est une relation entre les racines d'un polynôme à coefficients complexes, et les racines du polynôme dérivé, et doit son nom à Blagovest Sendov (en) et Lyubomir Iliev, deux mathématiciens bulgares[1].
Elle énonce que, si P est un polynôme dont les racines r1, ..., rn sont dans le disque unité fermé (c'est-à-dire, de module au plus 1), alors chaque racine rk est à une distance inférieure ou égale à 1 d'une racine de P'.
À noter que d'après le théorème de Gauss-Lucas, les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe des rk, et donc a fortiori dans le disque unité.
La conjecture a été publiée pour la première fois en 1967, dans le livre Research problems in function theory de Walter Hayman[1],[2]. Elle a été démontrée pour les polynômes de degré au plus 6 en 1991[3], puis de degré au plus 8 en 1999[4], mais n'est toujours pas complètement démontrée en 2020. Entre 2002 et 2003, Gerald Schmieder a présenté plusieurs démonstrations de cette conjecture, qui ont toutes été ensuite invalidées[5],[6]. En 2020, une importante avancée a été obtenue par Terence Tao, démontrant le résultat pour des polynômes de degré suffisamment grand[7].
Notes et références
- Blagovest Sendov Hausdorff geometry of polynomials, Advances in Mathematics: Scientific Journal 1 (2012), no.1, pp. 23-26 [PDF]
- Walter Kurt Hayman, Research problems in function theory, The Athlone Press, 1967
- Johnny E. Brown, On the Sendov conjecture for sixth degree polynomials, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 113, Number 4, December 1991 [PDF]
- Johnny E. Brown, Guangping Xiang, Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree at most eight, J. Math. Anal. Appl., 232(2) (1999), pp. 272-292 [PDF]
- Blagovest Sendov, A Conjecture in the Geometry of Polynomials, Abstract [PDF]
- Gerald Schmieder A proof of Sendov's conjecture, sur arXiv [PDF]
- (en) Terence Tao, « Sendov's conjecture for sufficiently high degree polynomials », sur arXiv (consulté le )
