Mesure de comptage

La mesure de comptage (ou mesure de dénombrement) est une mesure positive associée à la cardinalité d'un ensemble.

Si l'on note $\mu$ la mesure de comptage et X un ensemble ; on a $\mu (X):=|X|$ correspondant au cardinal de l'ensemble X. Cette définition perdure lorsque l'ensemble est infini.

Par définition de l'intégrale d'une mesure positive, pour toute application $f:X\to Y$ avec $S\subset X$ ; $Y$ dénombrable et avec la notation $\{f=i\}_{S}=\{x\in S|f(x)=i\}$ on a :

$\int _{S}f.d\mu :=\sum _{i\in Y}i.|\{f=i\}_{S}|$

La mesure de comptage engendre donc une somme (ou série). Elle est particulièrement utile avec les suites numériques. Ainsi les divers théorèmes associés à la théorie de la mesure (notamment ceux que l'on retrouve pour l'Intégrale de Lebesgue) s'appliquent aux séries (inversion signes série / intégrale et série / limite par exemple).

Exemples

Soit l'ensemble $E=\{1,2,3\}$. En utilisant l'application identité $I_{1}:E\to E,x\mapsto x$, on a l'intégrale $\int _{E}x.d\mu =\sum _{i\in E}i.|\{x=i\}|=1+2+3=6$.

Soit la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}},u_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ et son application associée $\left\{{\begin{array}{ll}\mathbb {N^{*}} \to \mathbb {R} \\n\to u_{n}\end{array}}\right.$. On a $\int _{\mathbb {N^{*}} }u_{n}d\mu =\sum _{i=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$