Théorème de Monge

En analyse mathématique, le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de deux variables au voisinage d'un point critique $(x_{0},y_{0})$ :

On pose :

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0})=r,\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})=s,\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0})=t$.

On calcule $\Delta =s^{2}-rt$.

On distingue alors trois cas :

• Si $\Delta <0$ on a alors un extremum local :
  • si $r>0$, c'est un minimum ;
  • si $r<0$, c'est un maximum ;
• Si $\Delta >0$ on a alors un point selle – ou point col ;
• Si $\Delta =0$, on ne peut rien conclure.