Arithmétique floue

Cette article est en court de rédaction

1 %

Article relu le 20 avril 2011

L'arithmétique floue est une extension de la logique floue, spécialement utilisée en ingéniérie pour évaluer l'influence de l'incertitude sur les paramètres de modèles mathématiques. Elle peut être perçue comme une généralisation de l'arithmétique des intervalles aux nombres flous.

Ensembles et nombres flous

La notion d'ensemble flou permet de décrire des ensembles mathématiques dont l'appartenance n'est pas stricte mais graduelle. La théorie des ensembles dite "classique" est en effet parfois trop restrictive pour capturer proprement des ensembles vagues ou mal définis. Déterminer l'appartenance de "Paul" mesurant 1,65 m à l'ensemble des "personnes de petite taille" est naturellement difficile, car cet ensemble n'a pas de définition stricte. Les deux définitions ci-dessous illustrent la différence entre un ensemble classique et un équivalent "flou" possible:

Ensemble classique

En utilisant la théorie des ensembles classiques, l'ensemble des personnes de petite taille peut être défini en choissant une taille maximale, taille au delà de laquelle une personne donnée ne sera plus considérée comme petite. Plus formellement, si P désigne l'ensemble des personnes, on définira l'ensemble des personnes de petite taille $Pt=\{p\in P\,|\,taille(p)<1.60\}$. Dans ce cas, un personne mesurant 1,50 m est petite, alors qu'une personne mesurant 180 cm ne l'est pas. Les limites d'un tel modèle apparaissent autour de la limite (ici 1,6 m) car une personne de 1,599 9 m est considérée comme "petite" alors qu'une personne mesurant 1,6 m ne l'est pas.

Ensemble flou

La théorie des ensembles flous permet de définir le degrée d'appartenance d'une personne à l'ensemble des personnes de petite taille, de manière à ce que plus une personne est grande, moins elle soit considérée comme petite.

A compléter

Arithmétique floue standard

Representation des nombres flous

A compléter

Principe d'extension

A compléter

Arithmétique des intervalles

A compléter

Limites de l'arithmétique floue

A compléter

Bibliographie

(en) Michael Hanss "Applied Fuzzy Arithmetic: An Introduction with Engineering Applications", Berlin, Springer-Verlag, 2005, 256 p. (ISBN 3-540-24201-5)