Théorème de Löb

En logique mathématique, le théorème de Löb, démontré par Martin Hugo LöbMartin Hugo Löb (1921-2006), est une variante du second théorème d'incomplétude de Gödel. Il dit que pour toute théorie T satisfaisant les conditions de ce dernier — l'arithmétique de Peano par exemple — pour toute formule P, s'il est démontrable dans T que « si P est démontrable dans T alors P », alors P est démontrable dans T. En d'autres termes :

si $T\vdash Dem_{T}(\ulcorner P\urcorner )\rightarrow P$, alors $T\vdash P$

où Dem_T(⌈P⌉) signifie que la formule P, de numéro de Gödel ⌈P⌉, est démontrable dans T.

En résumé, l'hypothèse qu'un énoncé est démontrable dans une théorie donnée n'aide en rien la démonstration de cet énoncé dans cette même théorie.

Les théories auxquelles s'applique le théorème de Löb sont les mêmes que celles auxquelles s'applique le second théorème d'incomplétude : des théories arithmétiques (ou capables de représenter l'arithmétique) et qui peuvent représenter les démonstrations et leur combinatoire, comme l'arithmétique de Peano, et a fortiori les théories des ensembles usuelles, mais aussi une théorie arithmétique faible comme l'arithmétique primitive récursive.

Histoire

L'article de Martin Löb contient effectivement l'énoncé du théorème de Löb. Mais il semble que cette contribution soit attribué à un relecteur anonyme de la soumission. Il s'avère que ce relecteur était Henkin. L'histoire est raconté par Smoryński.

Théorème de Löb et théorème de Gödel

Le second théorème d'incomplétude de Gödel est le cas particulier du théorème de Löb pour la formule 0 = 1 (ou toute autre formule absurde). En effet Dem_T(⌈0 = 1⌉)→ 0 = 1 exprime bien que 0 = 1 n'est pas démontrable, c'est-à-dire la cohérence de la théorie T, et le théorème de Löb énonce alors que si celle-ci est démontrable, alors 0 = 1 est démontrable, c'est-à-dire que la théorie est contradictoire : c'est exactement le second théorème d'incomplétude de Gödel.

Mais réciproquement on déduit assez directement le théorème de Löb pour une théorie T et un énoncé A du second théorème d'incomplétude pour la théorie T + ¬A : il suffit de remarquer que la démontrabilité de A dans la théorie T équivaut à la non cohérence de la théorie T + ¬A, et que cette équivalence très simple, qui est le raisonnement par l'absurde, se démontre dans la théorie T (sous les hypothèses déjà nécessaires pour le théorème), c'est-à-dire que :

Dem_T(⌈A⌉) ≡_T Dem_{T+ ¬A}(⌈0=1⌉) .

Si Dem_T(⌈A⌉) → A est démontrable dans T, alors dans la théorie T+ ¬A, on démontre ¬ Dem_{T+ ¬A}(⌈0=1⌉), c'est-à-dire la cohérence de cette théorie. La théorie T+ ¬A est donc contradictoire par le second théorème d'incomplétude, et donc A est démontrable dans T.

Le théorème de Löb en logique de la démontrabilité

La logique de la démontrabilité (en) s'abstrait des détails de l'encodage utilisé dans le théorème d'incomplétude de Gödel, exprimant la notion de démontrabilité de $\phi$ dans un système donné dans le langage de la logique modale, par le biais d'une modalité $\Box$.

Dans ce cadre, on peut formaliser le théorème de Löb par l'axiome suivant, connu sous le nom d'axiome GL, pour Gödel-Löb.

$\Box (\Box P\rightarrow P)\rightarrow \Box P$,

Cet axiome est parfois utilisé sous la forme d'une règle d'inférence :

${\frac {\Box P\rightarrow P}{\Box P}}$

La logique GL de la démontrabilité, résultant de l'ajout de l'axiome GL à une logique modale K4, est le système de logique de démontrabilité le plus étudié.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Löb's theorem » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:Planetmath reference
• (en) The Cartoon Guide to Löb's Theorem : le théorème de Löb expliqué graphiquement par Eliezer Yudkowsky

Bibliographie

(en) Peter G. Hinman, Fundamentals of Mathematical Logic, Wellesley, A K Peters, 2005 (ISBN 978-1-56881-262-5, LCCN 2005050968)