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Topologie plus fine, définition à partir des ouverts

Dans Initiation à la topologie générale (p.8), la topologie plus fine est définie sur un espace métrique: la topologie associée à $d'$ est plus fine que celle associée à $d$ ssi tout voisinage d'un point pour $d$ est voisinage de ce point pour $d'$.

Cette définition ne fait en fait pas intervenir les distances, et est donc extensible telle quelle pour des topologies quelconques: la topologie associée à ${\mathcal {V'}}$ est plus fine que celle associée à ${\mathcal {V'}}$ ssi:

$\forall a\in E,{\mathcal {V}}(a)\subset {\mathcal {V'}}(a)$

Transcription de la définition en termes d'ouverts

La topologie ${\mathcal {T'}}$ est plus fine que la topologie ${\mathcal {T}}$ ssi tout ouvert selon la première est aussi un ouvert selon la seconde.

Démonstration:

Si la topologie ${\mathcal {T'}}$ associée à ${\mathcal {V'}}$ est plus fine que la topologie ${\mathcal {T}}$ associée à ${\mathcal {V}}$, alors un ouvert selon ${\mathcal {T}}$ est voisinage de chacun de ses points selon ${\mathcal {V}}$, et est donc aussi voisinage de chacun de ses points selon ${\mathcal {V'}}$. Il est donc ouvert selon ${\mathcal {T'}}$.

Réciproquement, supposons que les topologies ${\mathcal {T}}$ et ${\mathcal {T'}}$ soient telles que tout ouvert selon la première est aussi ouvert selon la seconde. Si $a\in E$, un voisinage de $a$ selon ${\mathcal {T}}$ contient un ouvert selon ${\mathcal {T}}$ qui contient $a$. Cet ouvert selon ${\mathcal {T}}$ est aussi ouvert selon ${\mathcal {T'}}$, et contient toujours $a$. Ce voisinage de $a$ selon ${\mathcal {T}}$ est donc aussi voisinage de $a$ selon ${\mathcal {T'}}$. Ceci vaut pour tout voisinage de $a$ selon ${\mathcal {T}}$, et pour tout $a\in E$. La topologie ${\mathcal {T'}}$ est donc plus fine que la topologie ${\mathcal {T}}$.

Transcription de la définition en termes de distances

Si les topologies sont définies à partir de métriques, on peut aussi donner une définition en termes de boules ouvertes:

La topologie ${\mathcal {T'}}$ associée à la métrique $d'$ est plus fine que la topologie ${\mathcal {T}}$ associée à la métrique $d$ ssi pour tout point de $E$, toute boule ouverte centrée sur ce point selon $d$ contient une boule ouverte centrée sur ce point selon $d'$.

Démonstration:

Si la topologie ${\mathcal {T'}}$ associée à $d'$ est plus fine que la topologie ${\mathcal {T}}$ associée à $d$, alors pour un point $a\in E$, une boule ouverte centrée sur $a$ selon $d$ est voisinage de $a$ pour ${\mathcal {T}}$, et donc voisinage de $a$ pour ${\mathcal {T'}}$, et contient donc une boule ouverte selon $d'$ centrée sur $a$.

Réciproquement, supposons que pour tout $a\in E$, toute boule ouverte selon $d$ centrée sur $a$ contienne une boule ouverte selon $d'$ centrée sur $a$. Alors un voisinage $V$ de $a$ selon ${\mathcal {T}}$ contient une boule ouverte selon $d$ centrée sur $a$, laquelle contient une boule ouverte selon $d'$ centrée sur $a$; cet ensemble $V$ est donc aussi voisinage de $a$ selon ${\mathcal {T'}}$. Ceci pour tout voisinage de $a$ selon ${\mathcal {T}}$, et pour tout $a\in E$. Donc la topologie ${\mathcal {T'}}$ associée à $d'$ est plus fine que la topologie ${\mathcal {T}}$ associée à $d$.

Conséquence

Si deux métriques $d$ et $d'$ sont telles qu'il existe un réel $K>0$ tel que $\forall x,y\in E,d(x,y)\leq Kd'(x,y)$, alors la topologie associée à $d'$ est plus fine que celle associée à $d$.

En neffet,

Et les fermés?

(Suite du truc précédent.)

Soit $\phi '\subset A$ un fermé pour la topologie induite sur $A$.

$A\backslash \phi '$ est un ouvert pour la topologie induite sur $A$, donc $A\backslash \phi '=\omega \cap A$ avec $\omega$ ouvert de $E$.

Soit $\phi =E\backslash \omega$; comme $\omega$ est ouvert dans $E$, $\phi$ est fermé dans $E$.

$\phi \cap A=(E\cap A)\backslash (\omega \cap A)=A\backslash (\omega \cap A)$. Comme $\phi '\subset A$ et que $A\backslash \phi '=\omega \cap A$, on a $A\backslash (\omega \cap A)=\phi '$, et donc $\phi '=\phi \cap A$ avec $\phi$ fermé dans $E$.