Catégorie : Rappels de probabilités
Probabilité de A sachant B —
- Si
Alors ![{\displaystyle P(A|B)=P(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08bf0f8fafd2d8a14f58469af6f70528769ee87)
- Si
et
Incompatibles Alors ![{\displaystyle P(A|B)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2023f2456948b424aea92c3ac78328f9bd34be52)
![{\displaystyle P(A|\Omega )=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c566c572006a9dc603417f62a6a2ec9100448580)
1ère formule de Bayes —
formule des probabilités totales —
un système complet d'événements, alors
![{\displaystyle E[X]=\sum _{i}iP(X=i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bd771e0ec50fe89203b794f1da3db57adcbe3d) |
![{\displaystyle E[X]=\sum _{i}P(X>i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299bb9d7ce3231760c4e843646566f8811c5a3fa) |
![{\displaystyle Var(X)=E[(X-E[X])^{2}]=E[X^{2}]-(E[X])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6081b22b84940d7d8d3c34ac0a1d80120e5fe53) |
![{\displaystyle P(a<X<b)=P(a\leq X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9b377a39cbd283b8f8333c07ba98d599562dac) |
![{\displaystyle F_{X}(\infty )=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa1ea7dde5c7a9eb1389b754b9f6baa53e4705c) |
![{\displaystyle E[X]=\int _{\mathbb {R} }xf_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3411a062cc0c6ed2397677f95e56b49c58123c95) |
Théorème du transport —
![{\displaystyle \mu _{k}(X)=E[X^{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e635e3e2095d91a5e8fe0c37793064c3e4067d3d) |
![{\displaystyle \mu _{k}(X)=E[(X-E[X])^{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5d011dd5a7f2107547e6737d37d794907094e7) |
Formule du changement de variable — Si
alors
Loi de probabilité | ![{\displaystyle P_{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8348dd8ce7e6f7f4778ee01fa5bdc7b828afd98c) |
Fonction de répartition | ![{\displaystyle F_{X}(y)=P(X\leq y)=\int _{-\infty }^{y}f_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f230846f1e75978fec807bb0cd133230252945be) |
Densité | ![{\displaystyle f_{X}(x)={\cfrac {dF_{X}(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea1d616b024ab0b9b154f6dd1ebdff7dbe74443) |
Loi Uniforme discrète sur
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,
![{\displaystyle P(X=x_{k})={\cfrac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3971af3c5ea0f03193dcf24d3276d0aa71772e3d) |
Loi de Bernoulli de paramètre
sur
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![{\displaystyle {\begin{cases}P(X=1)=p\\P(X=0)=1-p=q\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a07831b7f8eb3528eee6bd11bad0c22366d294) |
Loi Binomiale de paramètres
et
sur
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,
![{\displaystyle P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c48ee62313e129969a7c0a14100c2102ed235a) |
![{\displaystyle E[X]=np}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2da2485cef9d93109f8c018fcdc0f7cfcd679b) |
![{\displaystyle Var(X)=np(1-p)=npq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31b1f1647c9b0543cd552b6b79515527f5accba) |
Loi Géométrique de paramètre
sur
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,
![{\displaystyle P(X=k)=q^{k-1}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a306cedbbfca57fe7e5d12ab6172cb25ef92f834) |
avec
![{\displaystyle E[X]={\cfrac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b50bfb39031713601386d72c4c36b2da474ea58) |
![{\displaystyle Var(X)={\cfrac {q}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f667d6a2a313827ec7159d320873928d33d11551) |
Loi de Poisson de paramètre
sur
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,
![{\displaystyle P(X=k)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c386d6e0b7ea9b214f27f78bed993777aee3d24) |
Loi Uniforme continue sur
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,
![{\displaystyle f_{X}(x)={\cfrac {1}{b-a}}\displaystyle {1\!\!1}_{[a,b]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69668c0f59451d7669c88f67759f808eb5579f88) |
![{\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}x<a\\{\cfrac {x-a}{b-a}}&{\mbox{si }}a\leq x\leq b\\1&{\mbox{si }}x>b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c387c2f141dc3b64c34b7d6eda7ce8ec370495) |
Loi Exponentielle de paramètre
sur
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,
![{\displaystyle f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x}\displaystyle {1\!\!1}_{[0,+\infty ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abec83fd0cb76554fc61145b497d7f53d7d33dd) |
![{\displaystyle F_{X}(x)=(1-e^{-\lambda })\displaystyle {1\!\!1}_{[0,+\infty ]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bddee7b6807d7dd4c7742c8294161f3793b3d55) |
![{\displaystyle E[X]={\cfrac {1}{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ead803f50616236106fab9b9285aa1dab4c290) |
![{\displaystyle Var(X)={\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c44c9f305b055019ed0bd47f4cea06ce81fe2b) |
Loi Normale de paramètres
sur
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![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf780f0f50c4295205ccfe439f8c8f6f799c6e3) |
On peut généraliser cette formule dans le cas d' un vecteur gaussien de dimension n en remplaçant variable x et mu par vecteur X et m, variance par matrice de covariance. Attention tout de même à noter que dans le cas général le coefficient 1/(2*Pi) est élevé à la puissance n/2
Soit
un vecteur gaussien à valeurs
de moyenne
et de matrice de covariance
. Pour tous
et
matrice
,
est un vecteur gaussien à valeurs
de moyenne
et de matrice de covariance
Vecteur Aléatoire — Un vecteur aléatoire ve.a. est une v.a.
à valeurs dans
muni de sa tribu Borélienne
, i.e., une application mesurable
qui à
La loi d' un ve.a. est appelée loi jointe
A noter que la connaisance de la loi jointe implique celle des lois marginales mais pas l' inverse! La connaissance des lois marginales n' implique pas a priori celle de la loi jointe. Cependant, dans le cas fréquent des variables dites i.i.d. (indépendantes et de même loi), il y a équivalence puisque la loi jointe du produit cartésien des variables indépendantes est alors égale au produit des lois marginales.
![{\displaystyle Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c788714efece85a49e92d003766cffec7fd7d4f7) |
Mis à part dans quelques cas particuliers (vecteurs gaussiens par exemple), il n' y pas équivalence entre covariance nulle et indépendance.
L' indépendance est une condition plus forte que la nullité de la covariance. La première implique la seconde, cependant la réciproque est fausse.
![{\displaystyle \rho _{XY}={\cfrac {Cov(X,Y)}{\sqrt {Var(X)Var(Y)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fab426ef41eba0e4fa2603b482853704f124bdc) |
Théorème du changement de variable — Si
alors
On préférera utiliser la définition de la fonction de répartition pour la nouvelle variable que la formule du changement de variable. La densité s'obtient alors par dérivation. Cette méthode est souvent moins lourde en calcul.
![{\displaystyle (X_{n})_{1\leq n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0931f7dd89ea93055e4b7216b11dac328cfd468)
![{\displaystyle S_{n}=\sum _{1<i<n}X_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece9cf18a82bc03cb87046c054102445133517e5)
Loi faible des grands nombres —
Loi forte des grands nombres —
Théorème central limite —