Soliton de Peregrine

Vue 3D de l'évolution spatio-temporelle du soliton de Peregrine

Le soliton de Peregrine est une solution mathématique de l'équation de Schrödinger non-linéaire. Cette solution a été établie en 1983 par Howell Peregrine, chercheur au département de mathématiques de l'Université de Bristol.

Propriétés

Au contraire du soliton fondamental qui a la propriété de conserver sa forme caractéristique inchangée durant sa propagation, le soliton de Peregrine présente une double localisation, à la fois dans le domaine temporel et dans le domaine spatial. Ainsi, à partir d'une petite oscillation sur un fond continu, le soliton de Peregrine se développe, voyant sa durée temporelle diminuer et son amplitude augmenter. Au point de compression maximale, son amplitude atteint trois fois l'amplitude du fond continu environnant (si l'on raisonne en intensité comme c'est le cas en optique, c'est un facteur 9 qui sépare le pic du soliton du fond environnant). Passé ce point de compression maximale, l'onde voit son amplitude diminuer et s'élargit pour finalement disparaître.

Ce comportement du soliton de Peregrine correspond aux critères habituellement retenus pour qualifier une vague de scélérate. Le soliton de Peregrine représente ainsi une explication potentielle attirante de la formation de ces vagues d'une amplitude anormalement élevée qui apparaissent et disparaissent sans laisser de trace .

Expression mathématique

Profils spatial et temporel au point de compression maximal

Le soliton de Peregrine est solution de l'équation de Schrôdinger non-linéaire unidimensionnelle qui peut s'écrire sous la forme normalisée suivante :

$i{\frac {\partial \psi }{\partial \tau }}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial ^{2}\xi }}+|\psi |^{2}\psi =0$

avec $\xi$ coordonnée spatiale et $\tau$ coordonnée temporelle. $\psi (\xi ,\tau )$ représentant l'enveloppe d'une onde de surface se propageant en eau profonde. La dispersion est considérée anormale et la non-linéarité autofocalisante.

Le soliton de Peregrine a pour expression :

$\psi (\xi ,\tau )=\left[1-{\frac {4(1+2i\tau )}{1+4\xi ^{2}+4\tau ^{2}}}\right]e^{i\tau }$

si bien que ses maxima temporel et spatial sont atteints en $\xi =0$ et $\tau =0$.

Le soliton de Peregrine est un soliton rationnel d'ordre 1. Il peut également être vu comme un cas limite d'une classe de solitons à respiration appelés breathers d'Akhmediev.

Démonstration expérimentale

Enregistrement du profil temporel d'un soliton de Peregrine en optique

Les prédictions mathématiques de H. Peregrine ont été initialement établies dans le domaine hydrodynamique. C'est pourtant dans un tout autre domaine que le soliton de Peregrine a pu être pour la première fois démontré expérimentalement et caractérisé.

En 2010, soit plus de 25 ans après les travaux de Peregrine, des chercheurs ont exploité l'analogie qui peut être dressée entre le monde de l'hydrodynamique et l'optique pour générer dans des fibres optiques des solitons de Peregrine . En effet, la propagation d'une impulsion dans une fibre optique et l'évolution d'une vague en eau profonde répondent toutes les deux à l'équation de Schrödinger non-linéaire (moyennant néanmoins une inversion des variables de temps et d'espace). Une telle analogie avait déjà été exploitée par le passé pour générer dans les fibres optiques des solitons optiques. De manière intéressante et en se basant uniquement sur des composants des télécommunications optiques , il a été montré qu'avec même une condition initiale approchée (dans leur cas, une modulation initiale sinusoidale), un profil très proche du soliton de Peregrine pouvait être généré .

Ces résultats en optique ont été confirmés dès 2011 dans le domaine hydrodynamique par des expériences menées dans un canal d'une quinzaine de mètres de long.