Voir la source de Nombre imaginaire pur

{{Voir homonymes|Imaginaire pur}}
{{Article général|nombre complexe}}
[[Fichier:Plan complexe1.ggb.png|vignette|Plan des nombres complexes avec les imaginaires purs en bas à droite. ]]
[[Fichier:Complex Numbers Plane.svg|thumb|Plan des [[Nombre complexe|nombres complexes]]. Les coordonnées du point A décrivent un nombre réel pur, celles du point B décrivent un nombre imaginaire pur, et celles du point C décrivent un nombre complexe.]]
Un '''nombre imaginaire pur''' est un [[nombre complexe]] qui s'écrit sous la forme {{math|i''a''}} avec {{math|''a''}} réel, {{math|i}} étant l'[[unité imaginaire]]. Par exemple, {{math|i}} et {{math|−3i}} sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la [[partie réelle]] est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à {{math|i}}[[ℝ]] (aussi noté {{math|i'''R'''}}).

Le [[Carré (algèbre)|carré]] d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif ou nul, et les [[racine d'un nombre complexe|racines carrées]] d'un nombre réel négatif sont des imaginaires purs. Au {{s-|XVI}}, les travaux de [[Girolamo Cardano|Cardan]] et de [[Raphaël Bombelli]] ont montré l'intérêt d'utiliser des racines carrées de [[Nombre négatif|nombres négatifs]] dans les calculs. Considérés dans un premier temps comme « imaginaires » ou « inconcevables », ils ont fini par être considérés comme des nombres à part entière au cours du {{s-|XIX}}.

== Définition ==
Dans le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]], on choisit [[unité imaginaire|un élément dont le carré vaut −1]], que l'on note {{math|i}}. On appelle alors « imaginaires purs » les nombres {{math|''z''}} de la forme {{math|i''a''}} où {{math|''a''}} est un [[nombre réel|réel]]. Ce réel {{math|''a''}} est alors égal à la [[partie imaginaire]] de {{math|''z''}}. Un nombre complexe {{math|''z''}} est un imaginaire pur si et seulement si l'une des propriétés suivantes est réalisée :
* la [[partie réelle]] de {{math|''z''}} est nulle ;
* {{math|''z'' {{=}} −{{surligner|''z''}}}} (où {{math|{{surligner|''z''}}}} est le [[conjugué]] de {{math|''z''}}) ;
* {{math|''z''}} est nul ou bien son [[argument d'un nombre complexe|argument]] vaut {{math|[[Pi|π]]/2}} [[Groupe quotient|modulo {{math|π}}]] ;
* Le nombre {{math|i''z''}} est un réel ;
* {{math|''z''{{2}}}} est un nombre réel négatif.

Les racines carrées d'un nombre réel sont soit réelles, quand ce nombre est positif, soit imaginaires pures quand ce nombre est négatif. Les racines carrées du nombre réel négatif {{math|−''a''{{2}}}} (avec {{math|''a''}} réel) sont les imaginaires purs {{math|i''a''}} et {{math|−i''a''}}.

== Axe des imaginaires purs ==
Le [[plan d'Argand]] est une représentation géométrique des nombres complexes par les points d'un [[plan euclidien]]. Il comporte deux axes gradués orthogonaux. Le premier axe, horizontal, représente l'axe gradué des réels, et le second axe, vertical, est l'axe des imaginaires purs. Sur ce deuxième axe, l'unité est {{math|i}}.

Un imaginaire pur ''z'' correspond alors à un point ''M'' de l'axe des imaginaires purs. Plus généralement, le nombre complexe {{math|''z'' {{=}} ''a'' + i''b''}} est l'affixe du point {{math|''M''}} de coordonnées {{math|(''a'',''b'')}}. Si {{math|''M''}} et {{math|''N''}} sont deux points distincts de l'origine, d'affixes respectives {{math|''z''}} et {{math|''w''}}, alors les droites {{math|(''OM'')}} et {{math|(''ON'')}} sont [[Perpendicularité|orthogonales]] si et seulement si le [[Division#Division complexe|quotient]] {{math|{{frac|''z''|''w''}}}} est un imaginaire pur.

== Éléments d'histoire ==
{{Article détaillé|Histoire des nombres complexes}}
La première apparition d'une quantité de cette forme apparait chez [[Girolamo Cardano |Jérome Cardan]] en 1545 sous la forme d'une [[racine carrée]] d'un nombre négatif {{math|{{racine|-15}}}}. Ce n'est que plus tard qu'est privilégiée l'écriture  {{math|''b'' {{racine|-1}}}} qui devient sous la plume de [[Leonhard Euler]], en 1777, {{math|i''b''}}. À cette époque, les nombres complexes, s'écrivant {{math|''a'' + i ''b''}}, sont encore tous appelés ''imaginaires'' et les nombres s'écrivant seulement {{math|i''b''}} sont désignés sous le nom de  ''nombres simplement imaginaires''. Lorsqu'en 1831, [[Carl Friedrich Gauss]] renomme les quantités  {{math|''a'' + i ''b''}} en ''nombres complexes'', il appelle les nombres pour lesquels {{math|''a''}} est nul des ''nombres imaginaires purs''.

== Liens externes ==
{{MathWorld|titre=Purely Imaginary Number|nom_url=PurelyImaginaryNumber}}

{{Palette|Notion de nombre}}
{{Portail|mathématiques|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Propriété numérique|Imaginaire pur]]
[[Catégorie:Nombre complexe]]