DescriptionJ-inv-poincare.jpeg	Klein's J-invariant, modulus on Poincaré disk (600x600 pixels)
Date	22 mai 2005, 01:30 (date de téléversement originale)
Source	Transféré de en.wikipedia à Commons par Keyi.
Auteur	en:user:Linas
Autorisation (Réutilisation de ce fichier)	Ce fichier est disponible selon les termes de la licence Creative Commons Attribution – Partage dans les Mêmes Conditions 3.0 (non transposée). Sujet aux avertissements. Vous êtes libre : de partager – de copier, distribuer et transmettre cette œuvre d’adapter – de modifier cette œuvre Sous les conditions suivantes : paternité – Vous devez donner les informations appropriées concernant l'auteur, fournir un lien vers la licence et indiquer si des modifications ont été faites. Vous pouvez faire cela par tout moyen raisonnable, mais en aucune façon suggérant que l’auteur vous soutient ou approuve l’utilisation que vous en faites. partage à l’identique – Si vous modifiez, transformez, ou vous basez sur cette œuvre, vous devez distribuer votre contribution sous la même licence ou une licence compatible avec celle de l’original. Ce bandeau de licence a été ajouté à ce fichier dans le cadre de la procédure de mise à jour des licences des images sous GFDL.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue Vous avez la permission de copier, distribuer et modifier ce document selon les termes de la GNU Free Documentation License version 1.2 ou toute version ultérieure publiée par la Free Software Foundation, sans sections inaltérables, sans texte de première page de couverture et sans texte de dernière page de couverture. Un exemplaire de la licence est inclus dans la section intitulée GNU Free Documentation License. Sujet aux avertissements.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

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Journal des téléversements d’origine

The original description page is/was here. All following user names refer to en.wikipedia.

Klein's J-invariant, modulus on Poincaré disk (600x600 pixels)

Detailed description

This image shows the modulus |j| of the J-invariant ${\displaystyle j=g_{2}^{3}/\Delta }$ as a function on the Poincare disk. The Poincaré disk is a mapping of the upper half-plane to the unit disk by means of the Mobius transformation

${\displaystyle z={\frac {\tau -i}{\tau +i}}}$

where τ is the half-period ratio, that is, the coordinate on the upper half-plane. The left-right symmetry of this image corresponds to the ${\displaystyle \tau \to -1/\tau }$ symmetry of the J-invariant, as small values for the imaginary part of τ are mapped to z=−1 on the left hand side, while large values for the imaginary part of τ are mapped to z=+1 on the right side. The fundamental domain is a triangle spanning the two vertically oriented dots in the center, with the cusp at z=+1 on the right. The transformation ${\displaystyle \tau \to \tau +1}$ corresponds to walking the fundamental domain from dot to dot on the boundary of the largest red area on the right; the cusp z=+1 remains unchanged.

For a detailed description of other aspects of this picture, including the coloration, please refer to Image:J-inv-modulus.jpeg.

• See also Image:J-inv-real.jpeg for the real part.
• See also Image:J-inv-phase.jpeg for the phase.

It, and other related images, can be seen at http://www.linas.org/art-gallery/numberetic/numberetic.html

Source of Image

Created by Linas Vepstas User:Linas <linas@linas.org> on 21 May 2005 using custom software written entirely by Linas Vepstas.

Copyright status

Released under the Gnu Free Documentation License (GFDL) by Linas Vepstas.

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Relevant Links

• Weierstrass elliptic functions
• Eisenstein series
• Q-series