Fichier:Academ two successive gnomons of isosceles right triangle.svg
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Description
| Description |
English: I invented the gnomon of isosceles right triangle, but the gnomons of golden triangles already existed, which illustrate proofs that 2.cos(36°) is irrational. I exposed proofs and drawings in “Certaines racines échappent à toute raison” and “Souci d’exactitude” of the “Bulletin Vert”:
numeros 391 and 401 of december 1993 and december 1995 of the “APMEP Bulletin Vert” (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public, 26 rue Duméril 75013 PARIS, France). Here references. 1995 Bulletin de l'APMEP. Num. 401. p. 873-884. Souci d'exactitude. 1993 Bulletin de l'APMEP. Num. 391. p. 551-560. Certaines racines échappent à toute raison. A gnomon of isosceles right triangle is a shape associated with such a triangle. We get a new isosceles right triangle smaller or larger than the initial triangle, by removing or adding a gnomon to the triangle. By adding a gnomon, we get a triangle reproduced in the scale 1 + √2. By removing a gnomon, we transform the triangle also into a similar triangle, but in the ratio -1 + √2, or 1/(1 + √2). This drawing shows two successive additions or two successive subtractions of gnomons. There is no geometric proof that √2 is irrational, the drawing is only an illustration of a proof that it is impossible to write a fraction equal to √2. The drawing of gnomons is also a good mnemonic to find the sequence of the best fractions which approach √2. Assume that there exist two positive integers a and b such that a/b = √2. Then a²/b² = 2, and a/b = 2b/a = (2b-a)/(a-b). And (2b-a)/(a-b) is a fraction equal to √2, better than a/b because the positive integer a-b is lower than b. By iterating the process, we obtain a strictly decreasing infinite sequence of denominators, which are positive integers. A such infinite sequence does not exist. So √2 is irrational. Whatever the unit of length, the three sides of an isosceles right triangle does not measure the unity, because 1 is an integer. But 1/1 is a first approximate value of √2. Assume that 1 is the three sides length of an isosceles right triangle. By adding a gnomon to this triangle, we obtain another whose sides measure 2 and 3. By adding a gnomon again, the length are 5 and 7. And so on. Now let forget the gnomons to consider the following sequence: 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, and so on, each time by calculating the integer (a + 2.b), when a and b are the both previous integers. We get the sequence of best fractions which approach -1 + √2 by writing the quotient of two consecutive terms: 1/2, 2/5, 5/12, and so on, because 2 +(-1 + √2) is the inverse of (-1 + √2). Français : J’ai inventé le gnomon de triangle rectangle isocèle, mais les gnomons de triangles d’or existaient déjà, qui illustrent des preuves que 2.cos(36°) est irrationnel. J’ai exposé preuves et dessins dans “Certaines racines échappent à toute raison” et “Souci d’exactitude” du Bulletin Vert de l’APMEP : numéros 391 et 401 de décembre 1993 et décembre 1995 du Bulletin Vert (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public, 26 rue Duméril 75013 PARIS, France). Voici des références. 1995 Bulletin de l'APMEP. Num. 401. p. 873-884. Souci d'exactitude. 1993 Bulletin de l'APMEP. Num. 391. p. 551-560. Certaines racines échappent à toute raison. Un gnomon de triangle rectangle isocèle est une forme associée à un tel triangle. On obtient un nouveau triangle rectangle isocèle plus petit ou plus grand que le triangle initial, en enlevant ou en ajoutant un gnomon au triangle. En ajoutant un gnomon, on obtient la reproduction du triangle à l’échelle 1 + √2. En enlevant un gnomon, on transforme encore le triangle en un triangle semblable, mais dans le rapport -1 + √2, ou 1/(1 + √2). Ce dessin montre deux soustractions ou deux ajouts successifs de gnomons. Il n’y a pas de preuve géométrique que √2 est irrationnel, le dessin est seulement une illustration d’une preuve qu’il est impossible de représenter √2 par une fraction. Le dessin des gnomons est aussi un bon moyen pour retrouver la suite des meilleures fractions qui approchent √2. Supposons qu’il existe deux entiers positifs a et b tels que a/b = √2. Alors a²/b² = 2, and a/b = 2b/a = (2b-a)/(a-b). Et (2b-a)/(a-b) est une fraction égale à √2, meilleure que a/b parce que l’entier positif a-b est inférieur à b. En itérant le procédé, on obtient une suite infinie strictement décroissante de dénominateurs, qui sont des entiers positifs. Une telle suite infinie n’existe pas. Alors √2 est irrationel. Quelle que soit l’unité de longueur, les trois côtés d’un triangle rectangle isocèle ne mesurent pas l’unité, parce que 1 est entier. Mais 1/1 est une première valeur approximative de √2. Supposons que 1 est la longueur des trois côtés d’un triangle rectangle isocèle. En ajoutant un gnomon au triangle, on en obtient un autre dont les côtés mesurent 2 et 3. En ajoutant encore un gnomon, les longueurs sont 5 et 7. Et ainsi de suite. Maintenant oublions les gnomons pour examiner cette suite : 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, et ainsi de suite en calculant à chaque fois l’entier (a + 2.b), quand a et b sont les deux nombres précédents. On obtient les meilleures fractions qui approchent -1 + √2 en écrivant le quotient de deux termes successifs : 1/2, 2/5, 5/12, et ainsi de suite, parce que 2 +(-1 + √2) est l’inverse de (-1 + √2). |
| Date | |
| Source | Travail personnel |
| Auteur | Yves Baelde |
Version un peu différente du dessin :
1993 Bulletin de l'APMEP. Num. 391. p. 551-560. Certaines racines échappent à toute raison.
Une version très proche de ce dessin-ci :
1995 Bulletin de l'APMEP. Num. 401. p. 873-884. Souci d'exactitude.
APMEP : Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public,
26 rue Duméril 75013 PARIS, France
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| actuel | 2 avril 2010 à 09:20 | | 450 × 360 (1 kio) | Baelde | {{Information |Description={{en|1=I invented the gnomon of isosceles right triangle, but the gnomons of golden triangles already existed, which illustrate proofs that 2.cos(36°) is irrational. I exposed proofs and drawings in “Certaines racines échapp |
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