Écoulement potentiel

Écoulement potentiel autour d'un cylindre

Pour la dynamique des fluides, un écoulement est potentiel lorsque son champ des vitesses v est le gradient d'une fonction scalaire, le potentiel des vitesses φ :

$\mathbf {v} =\nabla \varphi$

Puisque le rotationnel d'un gradient est toujours égal à zéro, $\nabla \times \nabla \varphi =\mathbf {0} ,$ un écoulement potentiel est toujours irrotationnel :

$\nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0}$

Les écoulements potentiels servent le plus souvent à décrire des écoulements de fluides parfaits, c'est-à-dire des écoulements où la viscosité peut être négligée, parce qu'un écoulement irrotationnel le reste tant que la viscosité est négligeable (équation d'Euler avec l'hypothèse que le champ de forces extérieures dérive d'un potentiel).

Si l'écoulement est incompressible, la divergence de v est égale à zéro :

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0$

Le potentiel des vitesses φ est alors une solution de l'équation de Laplace :

$\nabla ^{2}\varphi =0,$

où $\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla$ est le Laplacien, ou l'opérateur laplacien, parfois aussi noté $\Delta$.

A deux dimensions, les équations des écoulements potentiels sont très simples et peuvent être étudiées avec les outils de l'analyse complexe.