Théorème de König (théorie des ensembles)

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Le théorème de Kőnig en théorie des ensembles est dû au mathématicien hongrois Julius Kőnig (1849-1913).

Théorème de Kőnig[modifier | modifier le code]

Il se démontre à l'aide de l'axiome du choix (auquel il est en fait équivalent) et s'énonce ainsi :

Théorème — Soient $(a_{i})_{i\in I}$ et $(b_{i})_{i\in I}$ deux familles de cardinaux indexées par un même ensemble $I$ telles que pour tout élément $i$ de $I$ , $a_{i}<b_{i}$ . On a alors :

\qquad \sum _{i\in I}a_{i}<\prod _{i\in I}b_{i}

.

Corollaire[modifier | modifier le code]

Corollaire — La puissance du continu n'est pas la somme d'une famille dénombrable de cardinaux strictement plus petits.

Démonstration

ℝ^ℕ étant équipotent à ℝ, il suffit d'appliquer le théorème de König avec $I=\mathbb {N}$ et $\forall i\in I\quad b_{i}=\mathbb {R}$ .

Dans le système ZFC (de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), ce théorème est le résultat le plus fin concernant la taille du continu (voir également le théorème d'Easton).

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