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Ce moment d’ordre r est considéré comme existant si et seulement si xrf(x) est intégrable, c’est-à-dire si et seulement si ∫x∈I |xrf(x)| dx converge.
Ainsi, même si le moment est une intégrale impropre convergente[1], ce moment est tout de même considéré comme non existant.
De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également.
Pour un entier naturel r donné, l’ensemble des fonctions continues sur I dont le moment d’ordre r existe est un espace vectorielréel, et l’application mr : f ↦ mr(f) est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.
On notera que, p étant positive ou nulle sur I (premier axiome des probabilités), le critère d’existence du moment d’ordre r est la convergence de ∑k∈I |k|rpk ou de ∫x∈I |x|rp(x) dx selon le cas.
Les moments spectraux permettent l'étude des vibrations aléatoires dans le domaine fréquentiel. En considérant la densité spectrale de puissance Φ d'une vibration aléatoire, le moment spectral d'ordre i, noté , peut s'écrire:
La fonction génératrice des momentsMX d’une variable aléatoire réelle X est la série génératrice exponentielle associée à la suite(mr)r ∈ ℕ des moments de X, définie au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de tous les moments :
Elle peut également s’écrire, au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de l’espérance :
Soit [X] la dimension de la variable aléatoire réelle X.
Les moments ordinaire et centré d’ordre r, s’ils existent, ont pour dimension [X]r.
Démonstration
Dans l’écriture ∫x∈Ixr dFX(x) du moment d’ordre r, la variable x a pour dimension [X].
La mesure de probabilitéℙ étant une grandeur sans dimension, la fonction de répartitionFX, définie par ∀ x ∈ I, FX(x) = ℙ(X ≤ x), est également adimensionnelle, de même donc pour son infinitésimaldFX(x).
Donc mr = ∫x∈Ixr dFX(x) a pour dimension [Xr].
𝔼(X) = m1 ayant pour dimension [X], c’est également le cas de x - 𝔼(X), donc μr = ∫x∈I [x - 𝔼(X)]r dFX(x) a également pour dimension [Xr].
Le moment ordinaire d’ordre 1, s’il existe, est linéaire :
Démonstration
Soit Λ = {λ} la variable aléatoire constante valant λ avec une probabilité 1.
La translation de longueur λ des valeurs d’une variable aléatoire correspond à la somme de cette variable aléatoire et de Λ : θX + λ ≜ θX + Λ.
Sachant que 𝔼(Λ) = λ, on a donc, par linéarité de l’espérance :
Le moment ordinaire d’ordre r > 1 de θX + λ, s’il existe, ne s’exprime pas uniquement en fonction du moment d’ordre r de X :
Démonstration
En développant le binôme(θX + λ)r et par linéarité de l’espérance, on a :
On retrouve ainsi la linéarité de m1 et la constance de m0.
Sachant que μr(X) = mr(X - 𝔼(X)), la fonction génératrice des moments centrés de X est donc la fonction génératrice des moments ordinaires de X - 𝔼(X) :
Sachant que (θX + λ) - 𝔼(θX + λ) = θ [X - 𝔼(X)] (voir démonstration 1), on a donc :
Par transformation affine de coefficient directeur non nul (afin que σ soit non nul), le moment centré réduit d’ordre r, s’il existe, est simplement multiplié par le signe du coefficient directeur élevé à la puissance r :
La valeur absolue d’un moment centré réduit est donc invariante par transformation affine de pente non nulle.
Démonstration
L’écart type de θX + λ vaut :
Le moment centré réduit d’ordre r de θX + λ vaut donc :
En distinguant selon le signe de θ et la parité de r, on peut donc écrire :
Cette propriété d’additivité n’existe que pour les trois moments particuliers cités[3]. Les mesures de risque vérifiant cette propriété sont appelés les cumulants.
À partir d’un échantillon{X1, X2, …, Xn} de la variable aléatoire réelle X, on peut utiliser comme estimateur sans biais du moment ordinaire d’ordre r, s’il existe, l’estimateur suivant :
Tandis que le calcul des moments consiste à déterminer les moments mr d’une loi de probabilité p donnée, le problème des moments consiste inversement à étudier l’existence et l’unicité d’une loi de probabilité p dont les moments mr sont donnés.
↑Ce cas arrive par exemple pour les moments d’ordre impair d’une fonction paire définie sur ℝ : même si ∫x∈ℝ |xrf(x)| dx diverge, la fonction x ↦ xrf(x) est impaire donc a une primitive paire, d’où ∀ t ∈ ℝ, ∫t -txrf(x) dx = 0, donc ∫x∈ℝxrf(x) dx est une intégrale impropre convergente valant 0.
↑Pour des raisons historiques et en accord avec la notation des cumulants réduits, le coefficient d’asymétrie est noté γ1 plutôt que β1.
↑Formellement parlant, sachant que μ1 = 0, on pourrait ajouter le cas dégénéré μ1(X + Y) = μ1(X) + μ1(Y), mais cela n’apporte aucune information utile à l’étude de X + Y.