En mathématiques, plus particulièrement en algèbre linéaire et en combinatoire, les matrices de Pascal sont des matrices faisant intervenir le triangle de Pascal sous diverses formes.
La matrice de Pascal triangulaire supérieure T est la matrice infinie à coefficients entiers indexée sur
définie par
, avec la convention
si
.
Tronquée à l'ordre n on obtient une matrice
à n+1 lignes et n+1 colonnes ; par exemple :
![{\displaystyle T_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054b773b81da16094f8157e676959e2df466a94b)
.
La transposée U de la matrice T est la matrice de Pascal triangulaire inférieure définie par
. Elle présente la forme habituelle du triangle de Pascal. Par exemple :
![{\displaystyle U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fdb320c69721935d6a0ce5defa3e6a7daec385c)
.
Le produit UT donne une matrice symétrique S définie par
[1]. Elle présente le triangle de Pascal habituel tourné de 45° ; par exemple
![{\displaystyle S_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70bfdf50d99d86f397a53b4214f0628eda1fe85)
Ceci vient de la formule de convolution pour les coefficients binomiaux, en effet :
.
Interprétation comme matrice d'un endomorphisme polynomial[modifier | modifier le code]
La matrice T est la matrice relative à la base canonique
de l'endomorphisme
de
qui à P associe P(X + 1).
Ceci vient de la formule du binôme. En effet
.
Calcul de la matrice de Pascal triangulaire comme exponentielle de la matrice de la dérivation[modifier | modifier le code]
La formule de Taylor appliquée aux polynômes permet d'écrire
; on peut donc écrire l'endomorphisme
sous la forme
où
est l'endomorphisme de dérivation. Si on appelle D la matrice canonique de
, on obtient
qui n'est autre que l'exponentielle de la matrice D.
Cette matrice D, définie par
si
,
sinon, est la matrice triangulaire supérieure stricte dont la sur-diagonale contient
.
Sa transposée est la matrice triangulaire inférieure stricte dont la sous-diagonale contient
.
En passant aux matrices tronquées, on obtient
et
.
Par exemple pour n = 4, on obtient :
![{\displaystyle D_{4}^{T}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acc3f57969d0910a671649eed95f542bf9fd7fb)
donc
[1]
![{\displaystyle U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cad7eb37f5f0d29262860292e2f9939f802bc67)
.
Puissances entières des matrices de Pascal triangulaires[modifier | modifier le code]
Comme
, on a
pour tout entier m. On en déduit directement
et
.
Par exemple :
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{m}={\begin{pmatrix}1&m&m^{2}&m^{3}&m^{4}\\0&1&2m&3m^{2}&4m^{3}\\0&0&1&3m&6m^{2}\\0&0&0&1&4m\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83825b922ce2d585a36a167fa2dcd642e610f5d1)
.
Les trois matrices
ont pour inverses des matrices où les coefficients de la matrice de départ ont été changés de signe "en damier".
Plus précisément
et de même pour
.
Par exemple :
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1\\-1&2&-3&4&-5\\1&-3&6&-10&15\\-1&4&-10&20&-35\\1&-5&15&-35&70\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8d415f59bb622402eb5e7b1909182ea22dbc27)
Démonstration
Pour T et U, on fait m = -1 dans les formules précédentes
Pour la matrice S, il suffit d'écrire :
![{\displaystyle S_{n}^{-1}(i,j)=(U_{n}T_{n})^{-1}(i,j)=\sum _{k}T_{n}^{-1}(i,k)U_{n}^{-1}(k,j)=\sum _{k}(-1)^{i+k+k+j}T_{n}(i,k)U_{n}(k,j)=(-1)^{i+j}S_{n}(i,j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0809d51d31aa6650450cfe525a74ad5489e99edc)
Les deux matrices triangulaires
sont évidemment de déterminant 1, et comme
, la matrice
est aussi de déterminant 1.
Par exemple,
(en) Eric W. Weisstein, « Pascal Matrix », sur MathWorld