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En mathématiques , un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.
Soit
E
{\displaystyle E}
ensemble muni d'une relation d'ordre
⪯
{\displaystyle \preceq }
⪯
{\displaystyle \preceq \,}
(réflexivité )
∀
x
,
x
⪯
x
{\displaystyle \forall x,\ x\preceq x}
(transitivité )
∀
x
,
y
,
z
,
(
x
⪯
y
e
t
y
⪯
z
)
⇒
x
⪯
z
{\displaystyle \forall x,y,z,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq z{\bigr )}\Rightarrow x\preceq z}
(antisymétrie )
∀
x
,
y
,
(
x
⪯
y
e
t
y
⪯
x
)
⇒
x
=
y
{\displaystyle \forall x,y,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ et\ } y\preceq x{\bigr )}\Rightarrow x=y}
(
E
,
⪯
)
{\displaystyle (E,\preceq )}
(
E
,
⪯
)
{\displaystyle (E,\preceq )}
⪯
{\displaystyle \preceq }
∀
x
,
y
,
(
x
⪯
y
o
u
y
⪯
x
)
{\displaystyle \forall x,y,\ {\bigl (}x\preceq y\mathrm {\ ou\ } y\preceq x{\bigr )}}
L'ensemble
E
=
{
∅
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
1
,
2
}
}
{\displaystyle E={\bigl \{}\ \emptyset ,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}{\bigr \}}}
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
E
{\displaystyle E}
{
1
}
{\displaystyle \{1\}}
{
2
}
{\displaystyle \{2\}}
L'ensemble
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle
≤
{\displaystyle \leq }
