Discussion:Paradoxe de Cantor

fonction identité?

J'avoue ne pas comprendre cette phrase : "on peut particulariser la démontration du théorème de Cantor au cas où P(V) ⊂ V — la fonction injective de P(V) dans V dont l'existence conduit à une contradiction est alors l'identité" J'ai pensé la modifier en : "on peut particulariser la démontration du théorème de Cantor au cas où P(V) ⊂ V en prenant pour fonction injective de P(V) dans V la fonction identité" Mais même là ça coince, outre qu'on cause là de de fonctions qui n'existent pas (:-) , manque la preuve que sous l'hypothèse de l'existence d'une telle injection, la fonction identité en serait un exemple. Mais j'ai p.e. loupé une étape. --Epsilon0 10 mai 2007 à 19:31 (CEST)

Si on suppose que V est un ensemble et que P(V) ⊂ V, la fonction identité de P(V) dans V est injective. Tu fais la preuve du théorème de Cantor (c'est en fait la "réciproque" de cette fonction, qu'il faut donc compléter, qui est utile). Tu tombes, quand x est dans P(V), sur x n'appartient pas à x. Le paradoxe aurait été connu de Russell indépendemment de Cantor, qui ne l'a décrit que dans sa correspondance. Le théorème de Cantor,a été publié en 1894 (à vérifier, de mémoire, mais il est sûr Russell le connait). Pour le théorème de Cantor, tu peux montrer par exemple que l'existence d'une fonction injective de P(A) dans A conduit à une contradiction. Ici l'identité t'en fournit une, d'où la contradiction. Donc la preuve que tu demandes n'est pas nécessaire. Le but de cette phrase était d'indiquer, sommairement, comment une analyse du théorème de Cantor conduit, par le paradoxe de Cantor, au paradoxe de Russell. Proz 10 mai 2007 à 20:15 (CEST)

• C'est évident, comme tu le dis, que "Si on suppose que V est un ensemble et que P(V) ⊂ V, la fonction identité de P(V) dans V est injective"; je devais avoir du caca dans la tête pour ne pas le voir.
• Mais pour le reste, même après ta grosse modif du 10/5/07 j'avoue ne pas bien comprendre le lien entre ce paradoxe et celui de Russell. A la lecture je n'arrive pas à discerner ce qui relève des faits historiques de ce qui relève de ton rapprochement perso entre ces 2 paradoxes (et j'imagine que le lecteur encore moins averti que moi risque d'être totalement paûmé)
  • Tu mentionnes que Russell est parvenu à son paradoxe en "en analysant la preuve du théorème de Cantor" mais explique t'-il dans les "principles of mathematics", que tu mets en référence, son raisonnement.? Si oui faut le préciser sinon pas celui que tu mets.

il n'en dit pas plus a priori, si ce n'est (si je ne confonds pas avec Burali-Forti) qu'il l'a analysé avec les notations de Peano. Mais il en parle à plusieurs endroits... Je vérifierai, et mettrai une référence plus précise à l'occasion. Ceci dit, une fois le résultat connu, le passage semble assez clair, je l'ai effectivement reconstitué, mais ces raisonnements sont vraiment très simples, ce qui explique que Russell n'en dise pas plus. Il me semblait utile d'expliquer comment x ∉ x apparait, mais bon peut-être après tout faut-il en faire autant que Russell.

• • Sinon il est très clair que ces 2 paradoxes sont liés (et aussi avec celui de Burali-Forti) et que le noeud du truc est l'usage de la compréhension non restreinte.
    • Si on pense ces articles en termes historiques et que sur ces pages de wp on expose la lente évolution qu'il y a eu entre la découverte de ces paradoxes et leurs solutions (et sur ce domaine tu sembles le plus compétent), il serait bien que ce soit clairement mentionné que l'on parle de la pensée de Duchmoll disant sur tel truc à telle époque tel chose

pas si lente en fait. Sinon j'ai commencé ce genre de chose sur le paradoxe de Burali-Forti (j'ajouterai la version de Russell à l'occasion).

• • • A contrario l'exrcice consistant à dériver (actuellement) une proposition fausse d'une autre n'est guère intéressant (même sans passer par "pour tout A ( faux |- A)" : c'est sûr que l'on peut dériver toute formulation historique du même préjugé faux d'un autre ayant ce même préjugé faux en ce qui consiste l'unique antinomie découverte en logique.

Il ne s'agit pas de dériver l'une de l'autre, mais juste de montrer comment on peut penser à l'une en analysant l'autre.

• Bon le bilan, vu que tu connais assez bien l'historique de ces antinomies (et moi un tantinet) serait que ce soit sur wp regroupé dans une catégorie autonome (genre, catégorie:Paradoxes de la théorie des ensembles naïve, titre proposé au pif) ou dans un article les liens entre tous ces paradoxes apparentés.

--Epsilon0 13 mai 2007 à 22:13 (CEST)

Oui mais d'une part il y a deux sortes de tels paradoxes, qui ont joué un rôle ceux vraiment ensemblistes comme celui-ci et ceux du style Richard ou Berry de nature plus logico-linguistique. Est-ce que ça ne risque pas de faire des catégories pas très remplies ? Je me suis contenté de mettre des liens systématiques entre les paradoxes "historiques", pour le moment. S'il fallait un nom de catégorie, qui regroupe ces 5 là (et quelques autres éventuellement), j'avoue que je n'ai pas de bon titre en vue (paradoxes des fondements des mathématiques ?), sinon "Paradoxes de la théorie des ensembles" (pas la peine de précise naïve qui a des sens divers). Proz 13 mai 2007 à 23:46 (CEST)

Axiome de l'ensemble des parties

Après reformulation de : "Celui-ci qui a l'avantage de mieux isoler la raison du paradoxe, qui est la compréhension non restreinte. Pour le paradoxe de Cantor on l'utilise pour en déduire que V la classe de tous les ensembles est un ensemble, ce qui n'est pas possible dans les théorie des ensembles usuelles, mais aussi pour en déduire que l'ensemble des parties d'un ensemble est un ensemble, ce qui par contre y est licite." en : Celui-ci a l'avantage de mieux isoler la raison du paradoxe, qui est les contradictions qui résultent de l'adoption de la compréhension non restreinte. Le paradoxe de Cantor qui l'utilise consiste à dire que l'on peut en déduire que la classe V de tous les ensembles est un ensemble, ce qui n'est pas possible dans les théorie des ensembles usuelles. j'ai laissé de côté le bout de phrase : "mais aussi pour en déduire que l'ensemble des parties d'un ensemble est un ensemble, ce qui par contre y est licite." " A priori je ne vois pas le lien entre la résolution du paradoxe et cet axiome (que j'ai pourtant mentionné lors d'une autre modification). Je ne connais pas les textes historiques sur ce sujet et via je ne sais pas. Veux-tu dire que l'axiome de l'ensemble des parties d'un ensemble a émergé en tant que tel comme axiome implicite (et explicité bcp plus tard chez Zermelo) lors de l'exposé par Cantor de ce paradoxe?. Si oui (si tu as des sources, etc) cela mérite un peu de développement, si non j'ai p.e. eu raison de sabrer ce passage; mais p.e. ai-je loupé qqch. Amicalement. Tu m'apprends l'existence, par cet article, de cette version cardinale du bien connu paradoxe de Burali-Forti; merci. --Epsilon0 10 mai 2007 à 19:31 (CEST)

Cantor utilise librement l'ensemble des parties, pas particulièrement pour ce paradoxe. L'axiome de l'ensemble des parties est un cas particulier de la compréhension non restreinte. Je voulais dire que ce paradoxe utilise deux instances de la compréhension non restreinte. ZFC remet en cause la première (l'ensemble de tous les ensembles). En théorie des types par exemples, tu as un schéma non restreint au niveau d'un type, mais pas d'ensemble des parties. Proz 10 mai 2007 à 20:24 (CEST)

J'avoue que je n'avais jamais fait gaffe que l'axiome de l'ensemble des parties peut être vu comme une utilisation licite de la compréhension non restreinte (en tout cas que ce dernier implique le premier). Et ce que tu dis est très intéressant. Via ce serait bien que tu trouves l'article idoine pour glisser cette info (+ les aspects historiques que tu connais mieux que moi); ce serait dommage que cela reste bloqué aux seules pages de discussions.

--Epsilon0 13 mai 2007 à 22:14 (CEST)

C'est dans l'article schéma d'axiomes de compréhension. Proz 14 mai 2007 à 01:44 (CEST)

Nom de l'article + sens du mot "paradoxe"

Aussi j'ai un petit soucis concernant le nom de cet article, je crois que sous le nom de Paradoxe de Cantor est plus généralement connu (wp n'a pas à inventer des terminologies) le fait que N et R ne sont pas bijectables. Résultat qui est stricto sensus un para-doxe (== contre l'opinion [doxa]) et non comme ici une contradiction logique.. En passant je milite fermement (même si je ne l'ai pas encore exprimé) pour que soit bien distingué dans la catégorie "paradoxe", ceux qui le sont littéralement (résultats avérés mais contre intuitifs) de ceux qui comme ici amènent à une contradiction qui oblige à changer la théorie. --Epsilon0 10 mai 2007 à 19:31 (CEST)

Il s'agit bien d'un paradoxe dans le sens de "amène à une contradiction" (dans une théorie avec compréhension non restreinte, bien-sûr). Je crois l'avoir dit dès la deuxième phrase de l'article. Par contre je n'ai jamais vu appeler paradoxe de Cantor le fait que R n'est pas dénombrable. Je ne vois pas ce que ça a de paradoxal. La version anglaise, par exemple, parle bien de ce paradoxe, et c'est multiplement attesté dans ce sens Proz 10 mai 2007 à 20:01 (CEST)

Précision : les deux sens du mot paradoxe (étymologique, et contradiction) sont attestés (voir les dictionnaires) et tous deux largement utilisés, y compris en mathématiques. Dans le second sens on peut préciser "antinomie", un peu passé de mode. La catégorie paradoxe est de toute façon pour le moins hétérogène.

Concernant le nom de l'article, tu as raison, ma mémoire a du me jouer des tours.

Concernant le mot "paradoxe"

• j'avais bien vu et apprécié dans la 2ème phrase "amène à une contradiction". l'usage du mot "antinomie"
• Oui le mot "antinomie" est un peu passé de mode, mais tu l'utilises et j'y agrée. C'est vrai qu'il serait bien d'avoir un terme à la fois contemporain et non ambigu.
• Oui le mot "paradoxe" a 2 sens avalisés par les dicos et la pratique mathématique et c'est bien pourquoi il me semble pertinent sur wp de veiller à son usage pour éviter des mécompréhensions.
• Par exemple le fait que R ne soit pas dénombrable est véritablement un paradoxe (résultat contre intuitif), pour moult gens. Pour preuve, si les académies de maths sont plombées de textes d'amateurs tentant de prouver que pi n'est pas transcendant (= prouver la possibilité de la quadrature du cercle), il est courant de voir en logique des amateurs tentant de prouver que le thm de Cantor est faux (car comme dit au myen âge, un infini ne peut pas en dépasser un autre). Pour ces gens ce thm est un para -doxa[l] (et il en est de même pour tous les mathématiciens [tu as du aussi en rencontrer] qui s'étonnent que R² et R soient bijectables).

--Epsilon0 13 mai 2007 à 22:15 (CEST)

Discussion sur mes interventions

(pour plus de lisibilité je me permets de dissocier ce paragraphe de la section d'avant et précise que l'intervention de Proz est antérieure au titre de la section --Epsilon0 13 mai 2007 à 22:18 (CEST)

Je comprend ton souci, puisque certaines choses ne semblaient pas claires, mais je ne suis pas convaincu par tes reformulations, en particulier celle du second raisonnement (Cantor définit un cardinal comme actuellement, un ordinal non équipotent à un ordinal plus petit, il est pour lui évident que tout ensemble a un cardinal, sinon il ne prendrait pas cette définition, c'est là qu'il utilise implicitement l'axiome du choix). En particulier, dans ton raisonnement détaillé, l'axiome du choix intervient pour dire que l'ensemble des parties a un cardinal. Mais je ne pense pas utile de détailler l'intervention de l'axiome du choix dans un tel raisonnement. Je ne souhaitais pas invoquer explicitement à ce niveau l'axiome de l'ensemble des parties : c'est un anachronisme, et ça présuppose que la solution est ZFC. Il était en lien ensuite. Tu élimines le lien sur le théorème de Cantor, qui est quand même la source essentielle du paradoxe ! Proz 10 mai 2007 à 20:50 (CEST)

• Concernant le lien perdu sur le théorème de Cantor, c'est une boulette de ma part dû à un copier-coller trop rapide de mon traitement de texte sur le wiki; c'est sûr qu'il faut le maintenir et je n'avais nulle intention de le supprimer, mille excuses.
• Mais sur le fond je ne suis que très peu d'accord.
  • Par ta modif tu as reverté en fait toutes mes modifs, certes maladroites et parfois insuffisamment pensées (voir commentaires ci-dessus du même jour où je bas ma coulpe), ayant essentiellement pour but de rendre plus clair à un lecteur non averti un article qui me semble très opaque en pigerie.

pas toutes mais je reconnais n'avoir pas laissé grand chose, j'ai reformulé en général

• • • Perso en relisant 3 fois je comprends tout et j'agrée à tout ce qui est dit : rien à dire tout est correct en ce qui est dit au niveau formel.
    • Mais comme l'article vogue au delà du formel vers l'histoire (que je ne connais guère), ben j'attends que soit bien discriminé l'aspect formel de l'aspect historique (que je ne comprends qu'en creux !).
    • M'intéresserait que nous ayons (pour l'instant nous ne sommes que 2 à interagir sur cet article nouveau) l'avis d'un matheux de "base" (penser aux lecteurs, on rédige pas pour ceux qui savent déjà, ceci dit lors que je ne connaissais auparavant ce paradoxe) connaissant au moins ZF sur ce qu'il comprend de cet article.
  • Bon ok Proz ta modif a été forcément rapide, comme la mienne, mais je ne comprends pas, pour aller sur les points de détails, pourquoi :
    • Tu préfères "moderne" à "contemporain". L'époque moderne en histoire à mon souvenir c'est la renaissance, non?.

Aucune référence au sens du mot en histoire (ça ne différencie pas de l'époque de Cantor). Disons que la notion formelle de classe date des années 1920 (von Neummann) début 30 (Bernays). Il m'a semblé que contemporain laissait penser que c'était plus récent que ça. Je préfère effectivement, mais ça n'est pas très important, comme je réécrivais le reste ...

• • • Tu refuses ma formulation "solution du paradoxe" certes lourdingue mais qui a l'avantage de distinguer l'énoncé de paradoxe de sa solution.

Je crois avoir reformulé ce que j'avais écrit de façon plus précise en tenant compte de ton souci. Ta formulation laissait penser que Cantor prenait ceci pour un paradoxe. Or Cantor le présente dans ses lettres non comme un paradoxe mais comme montrant que ce qu'il appelle une "multiplicité" n'est pas un ensemble (voir l'article sur le paradoxe de Burali-Forti). Je préfère que ce soit clair dès l'introduction.

• • • Tu revertes simplement sans modifier (suggéré modestement dans mon commentaire) ma version développée de ta version compacte (comprise seulement après 3 lectures) de "Il utilise son théorème sur la cardinalité de l'ensemble des parties : si le plus grand cardinal est un ensemble, il a donc un ensemble des parties, qui a alors un cardinal" avec l'ajout "strictement supérieur à ce plus grand cardinal". Tout de même, simplement en restant sur le style, tu ne crois pas que mon usage du conditionnel dans mes phrases peut servir de balises aux lecteurs pour rapidement piger ce qui relève de la théorie erronée menant au paradoxe, de ce qui relève de sa résolution ? (bis repetita, on ne s'adresse pas uniquement à ceux qui connaissent déjà le pb et sa solution. Usons un peu de pédagogie que diantre).

ce qui me gênait dans ta décomposition c'est que, d'une part elle insiste inutilement sur AC, d'autre part tu suggères une solution, certe la plus commune. Il me semble que NF (Quine) a un ensemble de tous les ensembles. Je ne crois pas qu'il faille préciser l'usage de l'axiome du choix, on a (ou on croit avoir), une intuition directe sur la notion de cardinal. Honnêtement je crois que si l'on connait l'énoncé du th. de Cantor, c'est quand même très simple. Par ailleurs l'énoncé est détaillé ensuite (sans AC).

• • • Pis désolé mais "la raison du paradoxe, qui est la compréhension non restreinte" que tu as rétabli me semble définitivement moins claire que "la raison du paradoxe, qui est sont les contradictions qui résultent de l'adoption de la compréhension non restreinte.".

pourquoi pas

• • • Et aussi (même si sur le fond tu as raison) :La phrase que tu as rétablie : "Donc P(V) ⊂ V, l'identité définit une injection de P(V) dans V et contredit le théorème de Cantor." revertant ma formulation "ce qui implique l'existence", est aussi incompréhensible que la mienne (avais pas vu l'injection triviale déduite de P(V) ⊂ V) !  : On parle bien ici de la banale *fonction* (comme je l'avais modifié) identité qui balance x sur x et non de la *relation* d'identité (sur laquelle ya vraiment un roman à rédiger en partant des axiomes de l'égalité). Ok, parler de fonction n-aire ou relation n+1-aire c'est *en gros* une affaire de religion inessentielle. Néanmoins sous le vocable "identité" me semble plus connu la relation (mais je peux me tromper) et parler de relation injective, même si ça un sens est mopins commun que de parler de fonction injective.

j'avoue que je ne comprends pas l'objection, on a la relation d'identité, qui quand on la restreint à un ensemble définit bien une fonction. Je peux préciser fonction injective. Pour que la suite, que j'ai peut être trop précisée, soit compréhensible, je ne pouvais laisser ta version.

• • Très refroidi par ce revert (mais tout de même serein) je ne me permettrais plus de modifier quoique ce soit sur cette page et en ferait seulement mention en agréement éventuel sur cette page de discussion. Par exemples, sur choses très mineurs j'hésite à modifier (ou tenter de le faire):
    • "Donc P(V) ⊂ V, l'identité définit une injection de P(V) dans V et contredit le théorème de Cantor." par "Donc P(V) ⊂ V, la fonction identité est une injection de P(V) dans V ce qui contredit le théorème de Cantor. Pour la jouer ultra pointilleux, je ne vois pas en quoi une relation ou fonction peut "définir" une injection (est-ce une définition constructive?). Ne m'intéresse pas d'être pointilleux, mais lorsqu'on peut trouver une formulation rapide qui peut être plus claire pour le lecteur (les mots "identité" et "définition" sont polysémiques), ya pas à se gêner.

Définit par restriction, mais pas de problème, je préfèrerai la fonction identité de P(V) dans V est une injection.

• • • me semble peut clair la pertinence de l'argumentation commençant par "Si V est un ensemble" ... dont en lisant l'article je me sens incapable de discerner si l'hypothèse (bien sûr fausse en théorie des ensembles usuelles) est historique ou issue d'un travail personnel. Même si la suite du raisonnement est correcte, je ne pige pas d'où provient cette hypothèse, ce peut être bon de l'expliciter un chuya.

Il faudrait reprendre les lettres de Cantor. Cantor ne pense pas que l'univers de tous les ensembles est un ensemble.

• • • Pour le "paradoxe de Cantor on l'utilise pour en déduire que V la classe de tous les ensembles est un ensemble, ..." J'ai du relire 3 fois pour piger ce à quoi le "l" dans "Cantor on l'utilise pour" renvoyait ("ensemble des parties d'un ensemble" ou "compréhension non restreinte" ?). Bon ok, no blème la version du rédacteur est correcte (une fois comprise, et volontairement au lecteur je ne donne pas la solution), mais si je l'a rends explicite, vais-je être reverté?

je suis d'accord, il faudrait le dire autrement.

p.s. :

Bon ok j'ai un tort j'aime tout expliciter, parfois en pinaillerie (homonymie ou autre), en ce que je comprends. Mais ce travers a un pendant : j'aime tout simplement piger ce qui m'intéresse en ce que je ne sais pas encore, et veux comprendre (ce qui j'imagine est le cas de toute personne qui consulte une encyclopédie) et quand je ne comprends pas sur wp je me dis que le rédacteur (nous) est peu didactique.

Voili, voilou, je me suis un peu emporté (mais mine de rien, 4 de ce que je pensais simples apports participatifs de modeste relecteur ont été revertés), mais tout va bien : (sans aucune ironie) une personne réellement compétente est sur cet article (donc aucune crainte sur son développement) et moi qui connais peu va aller m'occuper ailleurs.

Cordialement dit à tous,

--Epsilon0 13 mai 2007 à 22:18 (CEST)

Je comprend ta réaction, c'est toujours désagréable de voir ce que l'on écrit disparaître ou presque. Mais bon, on peut ne pas être d'accord. Pour tout dire, quand j'ai vu tes modifications, qui n'étaient pas seulement de pure forme, sur un texte qui est une ébauche (il y a au minimum des choses à vérifier sur le plan historique par exemple, la présentation, peut-être séparer les aspects historiques et l'exposé du paradoxe...), le résultat me me semblait pas plus clair, et introduire quelques malentendus, dûs certainement en partie à la formulation initiale. Il me semble en avoir tenu compte, dans ce qui n'est pas du tout un simple revert, même si à un ou deux endroits je suis allé au plus facile qui est de revenir à la version antérieure. Tu avais des explications dans la page de discussion, et j'en ai ajouté quelques unes. Proz 14 mai 2007 à 01:38 (CEST)

Bon, je ne vais pas répondre point par point à ce que tu as dit essentiellement car je suis très globalement satisfait de tes réponses et que le but n'est pas d'enrichir la page de discussion!

Je pense que pour l'instant le mieux *pour ce qu'il y a déjà dans cet article* est qu'il soit rédigé par un rédacteur unique pour en garder la cohérence, ainsi je te laisse modifier (ou non) le texte actuel sur les points que j'ai abordé et auxquels tu agrées.

• La raison est que je ne vois aucun désaccord de fond entre nous. Et sur la clarté/(compacité-explicitation lourdingue) de l'exposé, je repporte la question à d'éventuels commentaires que pourraient faire d'autres lecteurs.
• Aussi je n'ai pas en tête tous les articles liés (auxquels tu participes); si j'ai le temps je vais regarder pour m'y empreigner et voir ce qui peut être fait sur ces 5 paradoxes (genre création d'une (sous-)catégorie disjointe de la catégorie "foutoir" paradoxe). A ce que j'en connais, 5 articles sur un sujet proche et très différent du reste (pas d'antinomie logique) c'est largement suffisant pour une catégorie.
• Sinon sur "est une ébauche (il y a au minimum des choses à vérifier sur le plan historique par exemple, la présentation, peut-être séparer les aspects historiques et l'exposé du paradoxe...)", je vais voir (si j'ai des idées). Par exemple je possède le bouquin de Cavaillès, mais j'ai pas encore regardé : la lettre de Cantor à Dedekind que tu mentionnes dans la note 2, est-ce celle du 28 juillet 1899? (dans mon édition c'est pp 238-244) Aussi, si tu as épluché cette correspondance, pour me mâcher le travail, quelles sont les lettres qui abordent ce sujet?

ps : Ah tiens, de Rouilhan en parle, je le mets en ref, puis le lis (:-). (suite sur ta page de discussion). --Epsilon0 15 mai 2007 à 21:20 (CEST)

oui c'est bien cette ou ces lettres (ce serait un collage). Je n'ai pas ce livre sous la main, mais il y a aussi un brouillon de réponse de Dedekind (?) et une lettre d'août ou septembre de Cantor sur le sujet. En fait je ne suis pas sûr que la seconde preuve du paradoxe (à partir du th. de Cantor), qui parait naturelle, soit bien de Cantor. Elle est dans la version anglaise de l'article. Russell a aussi publié des articles sur le sujet avant 1903, (aucune idée de leur contenu). Proz 16 mai 2007 à 00:06 (CEST)