Constante de Komornik-Loreti

Dans la théorie mathématique des systèmes numériques positionnels non standard, la constante de Komornik-Loreti est une constante mathématique qui représente la plus petite base $q$ pour laquelle le nombre 1 a une représentation unique, appelée son $q$ -développement. La constante porte le nom des mathématiciens Vilmos Komornik et Paola Loreti, qui l'ont définie en 1998.

Définition[modifier | modifier le code]

Étant donné un nombre réel $q$ > 1, la série

x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}

est appelée une $q$ -expansion, ou $\beta$ -expansion, du nombre réel positif $x$ si, pour tout $n\geqslant 0$ , $0\leqslant a_{n}\leqslant \lfloor q\rfloor$ , où $\lfloor q\rfloor$ est la partie entière inférieure de $q$ et $a_{n}$ peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel $x$ tel que $0\leqslant x\leqslant q\lfloor q\rfloor /(q-1)$ possède une telle expansion, comme on peut le prouver en utilisant un algorithme glouton.

Le cas particulier où $x=1$ , $a_{0}=0$ , et $a_{n}=0$ ou $a_{n}=1$ pour $n\geqslant 1$ , est parfois appelé un $q$ -développement de 1. Dans le cas où $a_{n}=1$ pour $n\geqslant 1$ , la seule valeur possible de $q$ est $q$ = 2. Cependant, pour presque tout $1<q<2$ , il existe un nombre infini de $q$ -développements de 1. De manière encore plus surprenante, il existe des $q\in [1,2]$ pour lesquels il n'existe qu'un seul $q$ -développement. De plus, il existe un plus petit nombre $1<q<2$ connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti pour lequel il existe un unique $q$ -développement de 1^[1].

Valeur[modifier | modifier le code]

La constante de Komornik-Loreti est la quantité $q$ telle que

1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}

où $t_{k}$ est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que $t_{k}$ est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de $k$ . Elle a pour valeur

q=1,787231650\ldots .\,

^[2]

La suite de ses décimales est donnée par la suite A055060 de l'OEIS.

La constante $q$ est aussi la seule racine réelle positive de

\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.

Cette constante est un nombre transcendant.

Voir également[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Weissman, Eric W. "q-expansion" From Wolfram MathWorld. Retrieved on 2009-10-18.
↑ Weissman, Eric W. "Komornik–Loreti Constant." From Wolfram MathWorld. Retrieved on 2010-12-27.

Portail des mathématiques

[MW-1] Weissman, Eric W. "q-expansion" From Wolfram MathWorld. Retrieved on 2009-10-18.

[MW2-2] Weissman, Eric W. "Komornik–Loreti Constant." From Wolfram MathWorld. Retrieved on 2010-12-27.

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