Chapeaux chinois

En mathématiques, les chapeaux chinois sont une dénomination regroupant les familles de fonctions continues, affines par morceaux, définies sur la demi-droite $[0:+\infty [$ permettant de donner des exemples de convergence simple non uniforme. Une famille de telles fonctions sur $\mathbb {R} ^{+}$ est donnée par exemple par :

$f_{n}:x\mapsto {\frac {1}{n}}x\mathrm {X} _{[0;n]}+{\frac {1}{n}}(2n-x)\mathrm {X} _{]n;2n]}$

Ces dernières forment également un contre-exemple classique au théorème de convergence dominée de Henri Lebesgue lorsqu'on oublie l'hypothèse de domination sur l'intervalle d'intégration, ici la demi-droite $\mathbb {R} ^{+}$ ^[1]. On trouve l'évocation de ces concepts chez Gustave Choquet^[2] mais également chez son élève, Jean-Louis Ovaert.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Un calcul d'aire montre que l'intégrale sur $\mathbb {R} ^{+}$ de la fonction $f_{n}$ vaut $n$ . La limite simple de ces fonctions est la fonction nulle. On en déduit que l'hypothèse de domination n'est pas satisfaite.