Utilisateur:Alexandre alexandre/Brouillon4

Voilà un brouillon pour analyse complexe. Le but serait de faire un panorama de tout ca en esquissant les grandes (représentation intégrale, principe du maximum, analyticité, prolongement, monodromie, surface de Riemann, uniformisation, singularités, méromorphie, théorèmes de Picards, Riemann-Roch, théorie analytique des nombres, dynamique holmorphes, plusieurs variables, subharmonicité...) lignes mais en refilant les détails dans des articles spécifiques...

L'analyse complexe est un vaste domaine des mathématiques qui s'intéresse, au sens large, aux fonctions de la variable complexe (éventuellement plusieurs vivant dans une variété analytique) et satisfaisant quelques propriétés permettant de construire différentes théories. Il s'avère que la condition la plus naturelle, la dérivabilité complexe ou holomorphie, implique déjà des résultats bien plus puissants qu'en analyse réelle : c'est ce qu'a montré Cauchy grâce au théorème de représentation intégrale, point de départ d'une théorie riche qui a trouvé de nombreuses applications et généralisations.

Holomorphie et intégrale curviligne

On dit qu'une fonction $f$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb {C}$ est holomorphe en $a\in U$ si et seulement s'il existe une limite au rapport ${\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}$ quand $z\to a$. Cette limite, noté $f'(a)$ permet de définir la dérivée d'une fonction holomorphe sur $U$, ie en tout point de $U$. Bien sûr, somme, produit, composé et limite uniforme de fonctions holomorphes le sont encore et les dérivées se calculent suivant les même règles opératoires : ainsi les polynômes sont holomorphes sur $\mathbb {C}$, les séries entières le sont sur leur disque de convergence et les fractions rationnnelles partout en dehors des pôles.

A l'instar de l'analyse réelle, l'intégration permet de mieux comprendre la dérivation. On intègre ici sur des chemins dans $\mathbb {C}$ de simples fonctions de la variable réelle $\int _{\phi }f(z)dz:=\int _{0}^{1}f(\phi (t))\phi '(t)dt$ où $\phi :[0,1]\to U$ est suffisemment régulière. On montre alors la formule intégrale de Cauchy dont on déduit deux résultats locaux :

• le principe du maximum : une fonction holomorphe non constante n'admet pas de maximum local,
• l'analiticité : toute fonction holomorphe est partout développable en série entière, $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$ au voisinage de $a$, et admet donc des dérivées de tous ordres vérifiant $f^{(n)}(a)=n!a_{n}={\frac {n!}{2i\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{i\theta })}{r^{n+1}e^{i(n+1)\theta }}}d\theta$, pour $r>0$ suffisement petit.

On obtiendra différents résultats globaux suivant la nature "géométrique" du domaine U.

Singularité

On dit qu'une fonction $f$ holomorphe sur un disque épointé de son centre, disons $a$, présente une singularité en $a$, auquel cas de trois choses l'une :

• $f$ est bornée au voisinage de $a$, auquel cas elle admet un prolongement continu qui définit une fonction analytique sur tout le disque, et la singularité est dite effaceable,
• Il existe un entier $n>0$ tel que $(z-a)^{n}f(z)$ soit bornée : on se retrouve dans le cas précédent et on dit que $f$ admet un pôle en $a$. Le plus petit de ces entiers s'appelle l'ordre du pôle et donc $f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}$ avec $g$ holomorphe et on peut localement développer $f$ en série de Laurent : $f(z)=\sum _{k=-n}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}$. Le coefficient $a_{-1}$ s'appelle le résidu de $f$ en $a$, noté $\mathrm {Res} _{f}(a)$,
• Il n'existe pas de tel entier et on dit alors que $f$ admet une singularité essentielle en $a$, auquel cas on montre que l'image de $f$ est dense (facile) et même qu'elle omet au plus une valeur complexe (grand théorème de Picard).

Typiquement une fraction rationnelle n'admet que des pôles pour singularité, dont l'ordre analytique correspond à l'ordre algébrique. Réciproquement, une fonction holomorphe n'admettant que des pôles isolés peut s'écrire comme le rapport de deux fonctions holomorphes, ce qu'on appelle une fonction méromorphe. L'intérieur d'un chemin $\phi$ étant compact, il n'y à qu'un nombre fini de pôles et les résidus satisfont le théorème des résidus : $\sum _{a{\text{ pole de }}f}\mathrm {Ind} _{\phi }(a)\mathrm {Res} _{f}(a)={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\phi }f(z)dz$. [il ne voulait pas de mon accent circonflexe sur le o sous le signe somme...]

Prolongement analytique

L'analyticité permet d'obtnir le principe des zéros isolés qu'on peut énnoncer ainsi : Par suite deux fonctions holomorphes coïncidant sur un ensemble présentant un point d'acummulation dans le domaine $U$, typiquement un ouvert de $U$, sont égales. Par suite, si on se donne un germe de fonction holomorphe $f$ sur un ouvert $D$ aussi petit soit-il et un domaine $U\supset D$, il ne peut exister qu'un seul prolongement analytique $g$, ie une fonction holomorphe $g$ sur $U$ telle que $g_{|D}=f$. Par exemple la série logarithmique $\sum _{n}{\frac {z^{n}}{n}}$ ne peut être prolongée continuement en $0$ ; on sait par contre qu'elle peut se prolonger analytiquement à $\mathbb {R} _{+}^{*}$et donc à son voisinage.

On peut se demander s'il est possible de prolonger un tel germe dans d'autres directions : c'est la notion de prolongement suivant un chemin. Quand il est possible, disons jusqu'à une extrémité $a$, il faut alors se demander si la valeur en $a$ dépend du chemin. A ce sujet, le théorème de monodromie explique que la valeur ne change pas d'un chemin à l'autre ssi on peut déformer continuement l'un en l'autre en évitant les singularités (les chemins sont dits homotopes) et qu'en cas contraire la différence des valeurs dépends des résidus en les singularités. Dans l'exemple logarithmique on peut avoir un prolongement jusqu'à $-1$ "en passant" au-dessus ou au-dessous de $0$, auquel cas les valeurs differeront de $2i\pi$.

Il existe d'autres moyens plus ou moins ad'hoc de prolonger un germe (pavage de C et groupe modulaire, pour une preuve du théorème de picard par exemple)...

Surface de Riemann

Les problèmes de monodromie amenent à considérer des "fonctions multivaluées" : les différentes valeurs correspondants aux diférentes classes de chemins modulo l'homotopie. L'idée de Riemann est de modifier l'espace de départ, surtout de ne plus l'astreindre à être globalement une partie de $\mathbb {C}$, mais seulement localement. Plus précisément une surface de Riemann est une variété topologique localement homéomorphe à $\mathbb {R} ^{2}$ (d'où le nom de surface), dont les changements de carte sont holomorphes (pour un choix d'isomorphisme $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$). On dit alors qu'une fonction y est holomorphe ssi elle l'est "dans les cartes". Les résultats locaux (principe du maximum local, analyticité, nature des singularités) subsitent et le passage au global dépend de la géométrie de la surface. Voici par exemple la surface associée au germe logarithmique [dessin].

On dispose pour ces surfaces de la théorie des revêtements ce qui permet de relever les fonctions sur une surface de Riemann simplement connexe. Le théorème d'uniformisation explique qu'elles sont toutes quotient d'un de ces trois espaces : le plan complexe tout entier, la sphère de Riemann et le disque ouvert unité. Ce résulta contient le surprenant théorème de l'application conforme.

• Les fonctions holomrophes sur $\mathbb {C}$ tout entier sont dites entières. Disons-en seulement que l'application de la formule intégrale de Cauchy pour des contours arbitrairement grand fournit le théorème de Liouville : si une telle fonction est bornée alors elle est constante ce qui donne une preuve simple du théorème de d'Alembert-Gauss.
• Sur la sphère, compacte, une fonction holomorphe admet un maximum et par principe du maximum elle est localement constante et donc par principe des zéros globalement constante. On s'intéresse alors plus volontier à l'ensembles des fontcions méromorphes et plus particulièrement à certains sous espaces en imposant des conditions de multiplicité sur les zéros et les pôles (théorème de Riemann-Roch).
• Sur le disque unité, le premier résultat est surment le lemme de Schwarz qui s'éclaire en considérant la métrique de Poincaré. Celle-ci munit le disque d'une structure d'espace hyperbolique.

Théorie analytique des nombres

[j'ai jamais eu de cours sur le sujet et ne sais pas rès bien tous les tenant et aboutissant de cette théorie, donc n'hésitez pas à modifier/corriger/enrichir]

Le premier lien que l'on peut tisser entre l'arithmétique et l'analyse complexe est surement dû à Euler qui remarque que pour tout réel s>1 on a $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$. La série de droite est absoluement convergente et peut même s'étendre en une fonction holomorphe sur $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ : c'est la fonction zêta de Riemann sujet à une conjecture d'une importance capitale en mathématique. Dirichlet utilisera de tels develeppoements en produits euleriens à ses fonctions L pour prouver le théorème de la progression arithmétique. Expliquons simplement qu'a toute suite $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ on associe la série de Dirichlet $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ qui converge dans un certain demi-plan $\{z\in \mathbb {C} /\mathrm {Im} (z)>\sigma _{a}\}$(éventuellement vide). Dans ce cas la fonction somme, disons $A$ y est analytique. Si la suite de coefficients est completement multiplicative ($a_{mn}=a_{m}a_{n}$) alors le produit $\prod _{p{\text{ premier }}\leq n}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}}}=\prod _{p{\text{ premier }}\leq n}(1+{\frac {a_{p}}{p^{s}}}+{\frac {a_{p^{2}}}{p^{2s}}}+\dots )=\sum _{k\in B_{n}}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ où $B_{n}$ désigne l'ensemble des entiers dont la décomposition en facteurs primaires ne fait intervenir que des nombres premiers $\leq n$. En faisant tendre n vers l'infini, on obtient le developpement eulerien $A(s)=\prod _{p{\text{ premier }}\leq n}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}}}$. De telles séries peuvent être munies d'une autre loi de composition qui permet d'obtenir de nombreuses formules faisant intervenir les fonctions arithmétiques classiques (Moëbius, indicatrice d'Euler...) et peuvent s'étendre à des domaines plus grand par des techniques de prolongement analytique (faisant souvent intervenir la fonction gamma).