Transformée d'Abel

En mathématiques, la transformée d'Abel, nommée d'après Niels Henrik Abel, est une transformation intégrale de projection d'une fonction axisymétrique.

La transformée d'Abel $F$ de la fonction $f$ s'écrit :

$F(x)=2\int _{x}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,dr.$

Si $f(r)$ converge plus rapidement que $1/r$, on peut écrire la transformée d'Abel inverse :

$f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dx}}\,{\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-r^{2}}}}.$

Physique

La transformée d'Abel et son inverse ont un certain nombre d'utilisations dans le domaine de la physique, notamment dans le cas de distributions à symétrie circulaire en deux dimensions qui doivent être projetées en une dimension. C'est par exemple le cas pour la formation d'images optiques, la cartographie par radar ou la détection passive.