Théorème des deux séries de Kolmogorov

En théorie des probabilités, le théorème des deux séries de Kolmogorov est un résultat sur la convergence des séries aléatoires. Il résulte de l'inégalité de Kolmogorov et est utilisé dans une preuve de la loi forte des grands nombres .

Énoncé du théorème

Soit $\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ une suite de variables aléatoires indépendantes d'espérance $\mathbf {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n}$ et de variance $\mathbf {Var} \left(X_{n}\right)=\sigma _{n}^{2}$, tel que $\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}$ et $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ convergent dans ℝ. Alors $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ converge dans ℝ presque sûrement .

Preuve

Supposons sans perte de généralité que $\mu _{n}=0$ . Posons $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}$. Nous allons voir que $\limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0$ presque sûrement

Pour chaque $m\in \mathbb {N}$ ,

$$\limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|$$

Ainsi, pour chaque $m\in \mathbb {N}$ et $\epsilon >0$ ,

$${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}$$

Alors que la deuxième inégalité est due à l'inégalité de Kolmogorov .

En supposant que $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ converge, il s'ensuit que le dernier terme tend vers 0 lorsque $m\to \infty$, pour chaque $\epsilon >0$ .

Références

• Durrett, Rick. Probabilité: théorie et exemples. Duxbury advanced series, troisième édition, Thomson Brooks / Cole, 2005, section 1.8, pp.   60–69.
• M. Loève, Théorie des probabilités, Princeton Univ. Presse (1963) pp. Secte. 16,3
• W. Feller, Une introduction à la théorie des probabilités et ses applications, 2, Wiley (1971) pp. Secte. IX.9