Théorème d'Erdős-Wintner

Le théorème d'Erdős-Wintner est un résultat mathématique, appartenant à la théorie probabiliste des nombres, qui caractérise les fonctions additives possédant une loi limite. La condition suffisante de ce résultat a été prouvée par Paul Erdős en trois étapes (1935/37/38) et la condition nécessaire a été obtenue par Erdős et Aurel Wintner en 1939. En un certain sens, ce théorème est l'analogue du théorème des trois séries de Kolmogorov en théorie des probabilités.

Loi limite

On dit qu'une fonction arithmétique $f$ possède une fonction de répartition $F$ (ou bien : possède une loi limite de répartition $F$) si la suite de fonctions de répartition ${\textstyle (F_{N})_{N\geqslant 1}}$définie par

$$F_{N}(z):={\frac {1}{N}}\left|\left\{n\leqslant N:f(n)\leqslant z\right\}\right|\qquad (z\in \mathbb {R} )$$

converge faiblement (ou bien simplement) vers $F$ et si $F$ est une fonction de répartition.

Dans ce cas, on dira plus simplement que $f$ possède une loi limite.

Énoncé du théorème

L'énoncé suivant s'inspire fortement du livre écrit par Tenenbaum. Dans la suite, on désignera par la lettre $p$ tout nombre premier.

Une fonction additive réelle $f$ possède une loi limite si, et seulement si, les trois séries

$$\sum _{|f(p)|>R}\,{\frac {1}{p}},\qquad \sum _{|f(p)|\leqslant R}\,{\frac {f(p)}{p}}\qquad \mathrm {et} \qquad \sum _{|f(p)|\leqslant R}\,{\frac {f(p)^{2}}{p}}$$

sont simultanément convergentes pour au moins une valeur du nombre réel positif $R$.

Lorsque ces conditions sont remplies, la fonction caractéristique de la loi limite est donnée par le produit convergent

$$\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\sum _{\nu \geqslant 0}{\frac {\mathrm {e} ^{i\tau f(p^{\nu })}}{p^{\nu }}}\qquad (\tau \in \mathbb {R} ).$$