Intensité et pression acoustiques décrivent la puissance surfacique et la surpression par rapport à la valeur ambiante d'une onde sonore caractérisée par la puissance de sa source et la géométrie du front d'onde de la propagation ou, de manière alternative, par les rayons de propagation acoustique. Cette équivalence dans la description est rendue possible par le fait que le son est caractérisé par une onde longitudinale.
L'intensité acoustique ou densité surfacique de puissance est comptée en W m−2, la puissance de la source en W.
La pression acoustique
est l'écart avec la pression ambiante
[1],[2],[3] :
![{\displaystyle p_{a}(\mathbf {x} ,t)=p(\mathbf {x} ,t)-p_{0}(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f512bd47b60c368e9dc773d83839218c0b491f5a)
Les niveaux très variables de pression acoustique entraînent l'utilisation de la notion de niveau de pression acoustique (sound pressure level - SPL) qui est une échelle logarithmique de la pression rapportée à une pression de référence
:
![{\displaystyle SPL=20\ln {\left({\frac {p_{a}}{p_{ref}}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec1b838f90c798f7b23640c5ded63435ca6203f)
Cette quantité est comptée en néper. En replaçant
par
dans l'expression on obtient la valeur en décibel.
On définit également la densité surfacique de puissance locale liée à la pression acoustique par :
![{\displaystyle J_{a}(\mathbf {x} ,t)=p_{a}(\mathbf {x} ,t)\,v_{a}(\mathbf {x} ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5819d51443ec8ea9b4be59d7e0f3ab557c1d6a0a)
où
est la vitesse de déplacement du fluide liée au passage de l'onde.
s'exprime en W m−2.
Cette quantité est reliée à l'intensité ou densité surfacique de puissance moyenne par intégration du signal dans l'intervalle
le long d'un rayon acoustique
, lequel est défini dans le paragraphe suivant :
![{\displaystyle I_{a}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}J_{a}(\mathbf {x} _{r},t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3edea71e77de7b4f8a8d24d96d4acc104f0f15)
On peut définir un front d'onde lorsque la largeur du signal est négligeable devant sa courbure spatiale. La valeur locale du signal est alors réduite à son intensité. Ce front d'onde est défini par l'instant d'arrivée
au point
. Le signal peut être décrit de manière alternative par l'ensemble des positions
, chacune de ces fonctions définissant un rayon de propagation. Dans un milieu qui se déplace à la vitesse
le front d'onde est simplement advecté et sa vitesse est[1],[2] :
![{\displaystyle \mathbf {V} _{r}(\mathbf {x} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{r}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )+c_{0}(\mathbf {x} )\mathbf {n} (\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118d8814bda63ee7c4e31e6036ef1108e215da6c)
où
est la normale au front d'onde.
est le vecteur lenteur (slowness) ou fonction eikonale défini par :
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {V} _{r}=1\quad \Leftrightarrow \quad c_{0}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} =1-\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} =\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac2ec9102b6314e7a6a00c130992b020df23df6)
Compte tenu de
il vient :
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathbf {n} }{c_{0}+\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} }}\,,\quad \mathbf {n} ={\frac {c_{0}{\boldsymbol {\sigma }}}{\Omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd71d6c70f578daacba1f55c1eb42a04723df6b4)
est la vitesse normale au front d'onde, d'où le nom de vecteur lenteur.
La seconde équation ci-dessus implique l'équation eikonale :
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{2}={\frac {\Omega ^{2}}{c_{0}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccd029659ad8fe63593d80d66b7a7b8d19bcdbb)
On peut alors écrire les équations des rayons acoustiques[3] :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{r}}{\mathrm {d} t}}&={\frac {c_{0}^{2}{\boldsymbol {\sigma }}}{\Omega }}+\mathbf {V} _{0}\\{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\Omega }{c_{0}}}\nabla c_{0}-\nabla (\mathbf {V} _{0}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})+(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla ){\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0ebd4c343b2fa514b216d6ef7c2bfa0765b45f)
Pour une compression isentropique sinusoïdale l'intensité proportionnelle au carré de la pression maximale :
![{\displaystyle I_{a}={\frac {p_{a_{max}}^{2}}{2\rho _{0}c_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df682c2e8f849e6516c3fe9b7c2e53d03a2b5148)
où
est la masse volumique du gaz au repos.
Démonstration
Considérons un cylindre de gaz parfait de longueur
dans le sens de propagation et d'aire
, quelconque, dans le plan perpendiculaire. Son volume est
. Il subit une compression isentropique sinusoïdale telle que
:
![{\displaystyle pV^{\gamma }=C^{te}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-\gamma {\frac {\mathrm {d} V}{V}}=-\gamma {\frac {\mathrm {d} l}{l}}={\frac {\mathrm {d} p_{a}}{p}}\approx {\frac {\mathrm {d} p_{a}}{p_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a558cad6fae3969384ebb5254b47da557afc8f0e)
Cette compression est supposée sinusoïdale : la longueur de région comprimée est :
![{\displaystyle l=l_{0}+l_{max}\cos {(\omega t-kx)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d4bc62b873c7c1ffe7591e83201751368d438f)
D'où la variation de pression acoustique :
![{\displaystyle p_{a}=-\gamma p_{0}{\frac {\mathrm {d} l}{\mathrm {d} x}}=-p_{a_{max}}\sin {(\omega t-kx)}\,,\quad p_{a_{max}}=\gamma \,k\,p_{0}\,l_{max}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a634fcc7bcfcf69ab24ffcf803672195ba8eb7)
La vitesse de propagation est la vitesse de groupe, confondue avec la vitesse de phase :
![{\displaystyle c_{0}={\frac {\omega }{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f8df27b17b51f8eb5b83365a7358837ad6e263)
Cette vitesse vérifie :
![{\displaystyle c_{0}^{2}=\gamma {\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133aa7e7ea90f7434dc0186eedd0594cb51ef1bb)
La vitesse instantanée du fluide est :
![{\displaystyle v_{a}={\frac {\mathrm {d} l}{\mathrm {d} t}}=-\omega \,l_{max}\sin {(\omega t-kx)}={\frac {p_{a}}{\rho _{0}c_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165061588ca4d3976e6faf416c841d3242a50111)
D'où la densité surfacique d'énergie[1] :
![{\displaystyle J_{a}=p_{a}v_{a}={\frac {c_{0}\,p_{a_{max}}^{2}}{\gamma p_{0}}}\sin ^{2}{(\omega t-kx)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1df2ea818a137916935e20fe40f9951fcecc25)
Par intégration sur une période
on obtient l'intensité :
![{\displaystyle I_{a}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }J_{a}\mathrm {d} t={\frac {c_{0}\,p_{a_{max}}^{2}}{2\gamma \,p_{0}}}={\frac {p_{a_{max}}^{2}}{2\rho _{0}c_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383d703eea55585ca3f8b5f32e14580071f98fc0)
Cette expression n'est pas vraie en général[Note 1].
- ↑ Elle reste vraie pour un signal en
au coefficient 1/2 près qui résulte du profil de pression.