Formule de Sylvester

Dans la théorie des matrices, la formule de Sylvester ou le théorème matriciel de Sylvester (du nom de JJ Sylvester ) ou l'interpolation de Lagrange-Sylvester exprime une fonction analytique f(A) d'une matrice A comme un polynôme en A, en termes de valeurs propres et de vecteurs propres de A. Il établit que

$f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,$

où les λ_i sont les valeurs propres de A, et les matrices

$A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\left(A-\lambda _{j}I\right)$

sont les covariantes de Frobenius correspondants de A, qui sont des polynômes interpolateurs de Lagrange matriciels (de projection) de A .

Conditions

La formule de Sylvester s'applique à toute matrice diagonalisable A avec k valeurs propres distinctes, λ ₁, …, λ _k, et à toute fonction f définie sur un sous-ensemble de nombres complexes tel que f(A) soit bien définie. La dernière condition signifie que chaque valeur propre λ_i est dans le domaine de f, et que chaque valeur propre λ_i de multiplicité m_i > 1 est à l'intérieur du domaine, f étant ( m_i – 1 ) fois différentiable à λ_i .

Exemple

On considère la matrice carrée de taille 2 :

$A={\begin{pmatrix}1&3\\4&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&0\\0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&0\\0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&0\\0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}}.$

Cette matrice a deux valeurs propres, 5 et −2. Ses covariantes de Frobenius sont

${\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{5-(-2)}}(A+2I)\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2-5}}(A-5I).\end{aligned}}$

La formule de Sylvester amène alors à

$f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,$

Par exemple, si f est défini par f(x) = x⁻¹, alors la formule de Sylvester exprime l'inverse matriciel f(A) = A⁻¹ comme

${\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-0,2&0,3\\0,4&-0,1\end{pmatrix}}.$

Généralisation

La formule de Sylvester n'est valable que pour les matrices diagonalisables ; une extension due à Arthur Buchheim, basée sur les polynômes d'interpolation d'Hermite, couvre le cas général :

$f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})\left(A-\lambda _{i}I\right)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\left(A-\lambda _{j}I\right)^{n_{j}}\right]$ ,

où $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ .

Une forme concise est plus tard donnée par Hans Schwerdtfeger:

$f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}I)^{j}$ ,

où les A_i sont les covariantes de Frobenius correspondantes de A.

Cas particulier

Si une matrice A est à la fois hermitienne et unitaire, alors elle ne peut avoir que des valeurs propres égales à $\pm 1$, et donc $A=A_{+}-A_{-}$, où $A_{+}$ est le projecteur sur le sous-espace de valeur propre +1, et $A_{-}$ est le projecteur sur le sous-espace de valeur propre $-1$ ; comme la base propre est génératrice, $A_{+}+A_{-}=I$ . Par conséquent, pour toute fonction analytique f ,

${\begin{aligned}f(\theta A)&=f(\theta )A_{+1}+f(-\theta )A_{-1}\\&=f(\theta ){\frac {I+A}{2}}+f(-\theta ){\frac {I-A}{2}}\\&={\frac {f(\theta )+f(-\theta )}{2}}I+{\frac {f(\theta )-f(-\theta )}{2}}A\\\end{aligned}}.$

En particulier, $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta A}=(\cos \theta )I+(\mathrm {i} \sin \theta )A$ et $A=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}(I-A)}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}(I-A)}$ .

Voir également

• Matrice d'ajustement
• Calcul fonctionnel holomorphe
• Formalisme résolvant

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sylvester's formula » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Felix Gantmacher, The Theory of Matrices, New York, Chelsea Publishing, 1960, 101-103 p. (ISBN 0-8218-1376-5)
• (en) Nicholas J. Higham, Functions of matrices: theory and computation, Philadelphie, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2008 (ISBN 9780898717778, OCLC 693957820)
• (en) Eugen Merzbacher, « Matrix methods in quantum mechanics », American Journal of Physics, vol. 36, n^o 9,‎ 1968, p. 814–821 (DOI 10.1119/1.1975154, Bibcode 1968AmJPh..36..814M)